Полином второй степени будет иметь вид
y = b0 + b1 x1 + b2 x2 + b3 x1 x2 + b4 x12 + b5 x22. |
(6.11) |
||||
Базисные функции в случае использования последнего |
|||||
выражения имеют вид |
|
|
|
|
|
|
|
f0(X) = 1; |
|
|
|
|
f1(X) = x1; |
|
|
||
|
f2(X) = x2; |
|
|
||
|
f3(X) = x1 |
∙ x2; |
|
(6.12) |
|
|
f4(X) = x12; |
|
|
||
|
f5(X) = x22. |
И |
|
||
|
|
|
|
|
|
6.6. План однофакторного эксперимента |
|
||||
|
|
|
Д |
|
|
Однофакторный (классический) эксперимент предназначен для |
|||||
получения линейной экспериментальной факторной модели вида |
|||||
|
|
А |
|
(6.13) |
|
y = b0 |
+ b1 x1 |
+ b2 x2 |
+... + bn xn . |
||
Однофакторный |
б |
предусматривает поочередное |
|||
эксперимент |
|||||
и |
|
|
|
|
|
варьирование каждого |
з факторов при фиксированных на некотором |
||||
уровне значениях остальных факторов. Фактор Хi варьируют на двух |
|||||||
С |
|
|
|
|
|
||
уровнях XiB и XiH, |
все остальные при этом должны находиться в точке |
||||||
центра эксперимента Xj0, j ≠ i. Для нормированных факторов xjB= +1; |
|||||||
xiH = –1; xj = 0. |
учетом этого составим матрицу спектра плана |
||||||
однофакторного эксперимента. |
|
|
|
|
|
||
|
|
−1 |
0 |
... |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
+1 |
0 |
... |
0 |
|
|
|
|
0 |
−1 |
... |
0 |
|
|
|
X = |
0 |
+1 |
... |
0 |
. |
(6.14) |
|
|
... ... ... ... |
|
|
|||
|
|
0 |
0 |
... |
−1 |
|
|
|
|
0 |
0 |
... |
+1 |
|
|
140
Число точек плана в этом случае N = 2n, где n – количество факторов.
Рис. 6.3. Модель однофакторного эксперимента
Модель однофакторного эксперимента представлена на рис. 6.3. Вектор базисных функций имеет вид
→ |
А |
И |
(6.15) |
f (X ) = (1, |
X1, X2,..., Xn). |
|
|
6.7. План полного факторногоДэксперимента |
|
||
Спектр плана полного факторного эксперимента (ПФЭ)
содержит все возможные ком инации значений факторов на всех |
||
|
С |
|
уровнях их изменен я. Чбсло точек N спектра плана определяется по |
||
формуле |
и N = U n, |
(6.16) |
|
||
где U – число уровней варьирования факторов; n – количество факторов.
Рассмотрим порядок составления матрицы спектра плана, полагая, что факторы нормированы и, следовательно, могут принимать значения только либо +1, либо –1.
Для составления матрицы спектра плана используется следующее простое правило: в первой строке матрицы все факторы равны –1, в первом столбце знаки единиц меняются поочередно; во втором столбце они чередуются через два; в третьем – через 4; в четвертом – через 8 и т. д. по степеням двойки.
При n = 2 число точек плана N = 22 = 4, а матр ица спектра плана имеет вид
141
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
X |
= |
+1 |
1 |
|
. |
|
|
|
|
(6.17) |
|
|
|
1 |
+1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
+1 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
При n = 3 N = 23 = 8, а матрица спектра плана имеет вид |
|
||||||||||||
|
|
|
|
−1 |
−1 |
−1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
+1 |
−1 |
−1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
−1 +1 |
−1 |
|
|
|
(6.18) |
||||
|
|
|
|
+1 |
+1 |
−1 |
|
|
|
||||
|
|
X = |
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
−1 |
−1 |
И |
|
|
|||||
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
+1 |
−1 |
+1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
−1 |
+1 |
+1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
+1 +1 +1 |
|
|
|
||||||
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Точки плана ПФЭ располагаются в вершинах n-мерного |
|||||||||||||
гиперкуба. |
|
|
|
Д |
|
|
|
||||||
Посредством ПФЭ можно построить как простейшую |
|||||||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
линейную модель технической системы вида |
|
|
|
||||||||||
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
+... + b x |
|
|
|
|
y =бb + b x + b x |
2 |
n |
, |
(6.19) |
|||||||||
|
0 |
1 |
1 |
|
2 |
|
n |
|
|
||||
так и нелинейную.
Для этой модели система базисных функций очевидна: f0(х) = 1;
f1 (х) = x1; f2(х) = х2; ...; fn(x) = хn. Число базисных функций в этом случае равно n + 1.
Пример. Исследовать процесс нагрева агрегата в зависимости от непрерывной работы.
Цель исследования – определить зависимость износа деталей от скорости и конечной температуры нагрева. Температура
изменяется от 250 до 45 °С, скорость нагрева – от 2 до 10 К/мин. Решение. Кодируем факторы, сводя результаты в табл. 6.1.
142
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 6.1 |
|
|
|
Исходные значения факторов и интервалы варьирования |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Интервал варьирования и |
Температура x1,°C |
|
Скорость нагрева x2, |
||||||
|
|
уровень факторов |
|
|
|
|
|
|
К/мин |
||
|
|
Нулевой уровеньZi0=0 |
|
|
350 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
Интервал варьирования ∆Xi |
|
50 |
|
|
|
2 |
|
||
|
|
Нижний уровень Zi=–1 |
|
|
300 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
Верхний уровень Zi=+1 |
|
|
400 |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
Другая форма таблицы исходных значений факторов и |
|||||||||
интервалов варьирования приведена в табл. 6.2 |
|
|
Таблица 6.2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Исходные значения факторов и интервалы варьирования |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И |
|
|
||
|
|
Фактор xi |
Уровни факторов |
|
|
Интервал |
|||||
|
|
|
|
Zi= –1 |
Zi=0 |
Zi=+1 |
|
варьирования ∆xi |
|||
|
|
|
|
|
|
Д |
|
|
|
|
|
|
|
Температура x1, °С |
300 |
350 |
400 |
|
|
50 |
|
||
|
|
Скорость нагрева x2, |
4 |
6 |
|
8 |
|
|
2 |
|
|
|
|
К/мин |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примечание. Zi – нормированные значения xi.
Составляем план-матрицу (табл. 6.3). Отметим, что в
примере изменяются только два фактора x1 |
и x2, причём каждый – |
|||||
|
и |
А |
|
|
||
на двух уровнях +1, –1. |
Таблица 6.3 |
|||||
|
С |
|
|
|
|
|
|
Планб-матрица эксперимента |
|||||
|
Номер опыта |
|
z1 |
|
z2 |
|
|
1 |
|
–1 |
|
–1 |
|
|
2 |
|
+1 |
|
–1 |
|
|
3 |
|
–1 |
|
+1 |
|
|
4 |
|
+1 |
|
+1 |
|
Строки в таблице соответствуют различным опытам, а столбцы – значениям факторов. В первом опыте оба фактора находятся на нижнем уровне, во втором опыте фактор x1 – на верхнем, а фактор x2 – на нижнем уровнях и т.д. Такие таблицы называют матрицами планирования эксперимента.
Реализация плана эксперимента представлена в табл. 6.4.
143