Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1472

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

1.19 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

§ 4. Объём тела вращения

Объём тела, образованного вращением вокруг оси ОХ (или оси ОУ) криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y f (x), осью абсцисс и двумя прямыми x a и x b, находится по формулам

b
VOX f 2 x dx,	(21)
a
b
VOY 2 xf (x)dx.	(22)
a

1) Вычислить объём тела, которое получается при вращении вокруг оси ОХ криволинейной трапеции, ограниченной гиперболой xy 4, прямыми x 3, x 12 и осью абсцисс.

Решение: Пользуясь формулой (21), находим

12 4	2	12dx		1	12	1		1

VOX		dx 16	16			16			4	(куб. ед.).

3 x		3 x2		x	3		12	3

2) Вычислить объём тела, которое получается при вращении вокруг оси ОУ криволинейной трапеции, ограниченной параболой y x2, прямыми x 0, x 2 и осью абсцисс.

Решение: По формуле (22) получим

2	2	x	4	2

VOY 2 x x2dx 2 x3dx 2				8 .
		4
0	0			0

Вычислить объёмы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций вокруг оси ОХ:

168.	y sin x, 0 x .		169.	y x3 4x, y 0.
170.	x2 y2	1, x 3.	171.	y2 4x, y x.
172.	y x2,	y2 8x.

Вычислить объёмы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций вокруг оси ОУ:

173.	y sin x, 0 x ,	y 0.	174.	y2	x3, x 1,	y 0.
175.	y ex , y 0, x 0,	x 1.	176.	y2	4x, x 1.

§ 5. Площадь поверхности вращения

Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ОХ дуги кривой y f (x) между точками x a и x b, находится по формуле

b	1 f 2 x dx.
SOX 2 f x	1 f 2 x dx.	(23)

Найти площадь поверхности вращения вокруг оси ОХ дуги кубической параболы y x3 при 0 x 1.

										2
	Решение:				Дифференцируя,					имеем y 3x2.	Следовательно,			по
формуле (23) находим													1/2
		1/2						1/2				3
												3

SOX 2 x3				1 9x4dx						1 9x4d(1 9x4)		(1 9x4)2
SOX 2 x3				1 9x4dx						1 9x4d(1 9x4)	27	(1 9x4)2
			0				18		0		27		0
		125				61	(кв.ед.).						0
		125				61
			1
	27	64	1		1728
	27	64			1728

Вычислить площади поверхностей, образованных вращением вокруг оси ОХ дуг кривых:

177.y2 4ax, 0 x 8.

178.y 3x, 1 x 3.

179.Одной волны косинусоиды y cosx.

180.y2 3 x, отсечённой прямой x 3.

§ 6.	Несобственные интегралы
1. Интегралы с	бесконечными пределами. Пусть	функция
y f (x) определена	и непрерывна при x a, .	Тогда

несобственный интеграл с бесконечным верхним пределом определяется следующим образом:

		b
	f (x)dx	lim f (x)dx.	(24)
a		b a

Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае − расходящимся.

Аналогично определяются несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом:

b		b
	f (x)dx	lim f (x)dx	(25)
		a a

и несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами:

		c		b
f (x)dx		lim	f (x)dx	lim f (x)dx,	(26)
		a a		b c
где c − произвольное действительное число.					y f(x)
2. Интегралы от разрывных функций. Пусть функция					y f(x)
определена и непрерывна приx a,b , кроме точки c, в					которой
функция f (x) имеет	бесконечный разрыв. Тогда несобственный
интеграл от разрывной функции определяется так:
b		c		b
f (x)dx lim		f (x)dx lim		f (x)dx.	(27)
a	0 a		0c

Если оба предела в правой части равенства (27) существуют и конечны, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае (т.е. если не существует хотя бы один из указанных пределов) − расходящимся.

Найти

следующие

несобственные

интегралы:

, 3)

, 4)

x x

1 x2

0 3 (x 1)2

Решение: 1) Пользуясь определением (24), имеем

b dx

1 b

lim

b 1

Следовательно, данный несобственный интеграл сходится.

2) На основании (26) получаем

lim

1 x2

a a

b 0

lim arctgx a

lim arctgx 0

3) Подынтегральная функция f (x)	1		имеет бесконечный
	x

		x
разрыв в точке x 0. По формуле (27) имеем

4	dx	4	dx		2		4
		lim		lim				lim	1

			x x
0	x x 0			0		x		0

т.е. данный несобственный интеграл расходится.

4) В данном случае подынтегральная функция

f (x)

3(x 1)2

претерпевает разрыв в точке x 1, лежащей внутри отрезка интегрирования. Используя определение, имеем

9		dx			1		dx	9			dx			lim 33			10
				lim				lim								x 1


0 3 (x 1)2				0 0		3 (x 1)2		01 3 (x 1)2						0
lim 33					19 3 lim 3			3		3 lim 3			3		9,
			x 1						1			8
	0					0					0

т.е. несобственный интеграл сходится.

Вычислить несобственные интегралы (или установить их расходимость):

181.		dx		.			182.		xe x2 dx.			183.	0				dx			.
181.		dx		.			182.		xe x2 dx.			183.					dx			.
	1	x5						0	dx				x2 9
									dx				16		dx
184.	sinxdx.						185.				.	186.						.
184.	sinxdx.						185.				.	186.						.
								x2 2x 2					0	4 x3
	3		dx					1					1				dx
187.					.		188.	lnxdx.				189.										.
187.	0 (x 2)4				.		188.	lnxdx.				189.										.
	0 (x 2)4							0					0 x x2
190.	1			dx		.	191.		dx	.		192.	1/3				dx				.

									xln x							xln2
	3 3 (x 2)2							2	xln x				0			xln2			x

Типовой расчёт

1 вариант

1. Проинтегрировать:

;

ex2 4x 5 x 2 dx;

2sin xdx

6x 5

3 1 cosx

2x 4 cos7xdx ; x3 ln xdx;

3x sinxdx.

;

x 1 dx

;

x 5

dx.

x2 10x 21

4x2 4x 9

4x 32

xdx

(x 3)dx

(2x 9)dx

x4 3x3 2x 1

;

dx.

x 2 x 3

(x 1)(x

4)(x 5)

x2 2x 3

sin5xcos3xdx;

;

cos

xdx

; cos4 4xdx .

13 5cosx

sin

x sin x

5 x

;

4 x

dx.

x 3

5 x

(5 x)2

(2x 1)2

2x 1

2. Вычислить определенные интегралы:

x2dx

; (x 1) 3

dx;

1 x

6x 18

3. Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость):

		dx	.

	x	2
0		4

4. Вычислить площади фигур, ограниченных следующими линиями:

а) y x2 9, y 0;

б) r cos2 .

5. Вычислить длину дуги кривой: y 1 lnsin x, 0 x .

6. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной кривыми: y2 6x, 3 x 5.

2 вариант

1. Проинтегрировать:

;

eln xdx

;

tgx 1 2

dx.

cos2 x

4x 3

x 6 e xdx; x arctgxdx; 3x2

1 cosxdx.

;

x 3

;

x 5

dx.

3 4x

2 4x 7

4x 8

x3 3

xdx

;

(x2 3x)dx

;

(4x 3)dx

;

dx .

(2x 1)(x 5)

(x 1)(x 2)

x(x

2x 3)

sin2xsin3xdx;

;

cos5 2xsin2

2xdx;

tg4xdx.

4sin x 3cosx 5

x 1

xdx

;

x 2

;

(x 2)

1 4 x3

x 4 x2

x 2

x 1 x

2. Вычислить определенные интегралы:

;

x4 ln xdx;

1 x

x2 4x

3. Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость):

x2dx

2 x2 1.

4. Вычислить площади фигур, ограниченных следующими линиями:

а) y x2, y 2x 3;

б) r sin3 .

5.Вычислить длину дуги кривой: y2 16x,отсечённой прямой x 4.

6.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной кривыми: yx 1, 1 x 5.

3 вариант

1. Проинтегрировать:

2x 1

arctg2x 4 2

sin 4x

dx;

dx.

x2 x

xdx

;

2x ln6xdx ; x2

4 cos3xdx.

sin x

3 x

dx;

2x 3

dx;

x2 4x

10x 16

x2 8x 20

(4x 1)dx

(x 1)dx

(2x2 1)dx

x3 4x 1

;

dx.

(x 5)

1)(x

x 1

(x 5)(x 3)

4x 5)

cosxcos4xdx;

1 sin x

dx; cos5

sin xdx;

(1 sin x)

sin

(1 6

)dx

;

x 1

;

3 x

;

3 x

(1 x

)

3/2

(3 x 4 x)4 x3

3 x 1 4

9 x2

2. Вычислить определенные интегралы:

ln xdx

; arcsin xdx;

2x 10

1/ 2

3. Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость):

2	dx	.
x2	2x 10

4. Вычислить площади фигур, ограниченных следующими линиями:

а) y x2, y 4x 3;

б) r cos3 .

5.Вычислить длину дуги кривой: y 4 x2 , 2 x 2.

6.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной кривыми: 3x y 0, 3x 4y 0, y 3.

4 вариант

1. Проинтегрировать:

exdx

34x 5dx;

2x 1

dx;

4x2 4x 3

25 e

(4 x)cos5xdx;

arcsin2xdx;

(8x2

16x 1)e2xdx.

;

4x 1

dx.

x2 4x 5

9x2 6x 28

6x 7

3x2 5

;

(3x 7)dx

;

x3dx

dx.

(1 5x)(x 2)

(x 7)

1)(x

cos5xcos4xdx;

2 sin x

dx;

cos6

sin xdx;

sin

xcos

2 cosx

4 x2

xdx

;

4 x

;

dx.

x 2

3 (3x 1)2 3x 1

(x 4)

2. Вычислить определенные интегралы:

xdx

(x2 1)3 xdx; (x 1)sin3xdx;

10x 28

3. Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость):

5	dx	.


	x2 8x 15
3	x2 8x 15

4. Вычислить площади фигур, ограниченных следующими линиями:

а) 3x y 0, 3x 4y 0, y 3; б) r 6cos3 .

5.Вычислить длину дуги кривой: y2 9 x, 3 y 0.

6.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси ОХ

фигуры, ограниченной кривыми: y x3, x 0, y 8.

5 вариант

1. Проинтегрировать:

4 arcsin2x 1

sinxdx

;

dx;

cos

x 25

1 4x2

5x 1

(1 2x)cos4xdx; arccos2xdx;

(1 x2) 2x dx.

;

x 1 dx

;

(2x 1)dx

16x 69

4x2 12x 10

16x 55

x3 x2 2

3xdx

;

(x 2)dx

;

x2 3x 2

dx;

dx.

(x 1)(x 2)

x(x 5)

9)(x 3)

7 x

sin2xsin9xdx;

cosxdx

; cos3

dx;

cos2

xdx

1 sin x cosx

sin

x 3

25 x2

dx;

1 x

;

1 x

;

dx.

x(1 3 x)

3 1 x

1 x x

2. Вычислить определенные интегралы:

sin xdx

e2 ln xdx

1/2

;

1 cosx

1/2

3 4x2

3. Вычислить несобственный интеграл (или установить его расходимость):

		dx	.
5
	x2	8x 20

4. Вычислить площади фигур, ограниченных следующими линиями:

а) y x2 4x 5, x y 5 0;

б) r 2cos , r 3cos .

5.Вычислить длину дуги кривой: x 2cost,

y 2sint.

6.Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси ОХ

фигуры, ограниченной кривыми: y 1 , x 1, x 6. x

6 вариант

1. Проинтегрировать:

x arctg

cos 4x dx; x2

dx.

x3 7

dx;

1 x

(x 2)e 4xdx; (x3 2x2 1)ln5xdx;

(9 x2 )sin3xdx.

;

2x 3

dx;

3 x dx

4x2 4x 6

4x x

x2 6x

;

(x2 4x 3)dx

;

(x2 2x 6)dx

;

x3 4x2 1

dx.

(x 3)(1 3x)

(x 2)

(4x

1)(x 1)

(x 3)

sin2xcos9xdx;

(1 sin x)dx

;

cosxdx

; ctg43xdx.

cosx(1 cosx)

sin

x 4sin x 4

x2dx

xdx

;

4 x

;

1 x

1 3 x 2

4 x (4 x)

x2 25

2. Вычислить определенные интегралы:

1/2

cosx esin xdx;

(2x 4)cos2xdx;

8x 5

3.	Вычислить несобственный интеграл (или установить его
расходимость):		dx
	2	dx		.


		4 x2
	1	4 x2
4.	Вычислить площади фигур, ограниченных следующими линиями:
	а) y2 2x, x2 2y;
	б) r 2sin4 .
5.	Вычислить длину дуги кривой: x t sint,					0 t .
		y 1 cost,
6. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси ОХ
фигуры, ограниченной кривыми:		y sin x,			x .
фигуры, ограниченной кривыми:		y sin x,			x .
			2

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 95 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20211.18 Mб51468.pdf
#
07.01.20211.18 Mб31469.pdf
#
07.01.2021312.37 Кб2147.pdf
#
07.01.20211.18 Mб211470.pdf
#
07.01.20211.18 Mб121471.pdf
#
07.01.20211.19 Mб21472.pdf
#
07.01.20211.19 Mб31473.pdf
#
07.01.20211.19 Mб191474.pdf
#
07.01.20211.19 Mб71475.pdf
#
07.01.20211.19 Mб321476.pdf
#
07.01.20211.19 Mб121477.pdf