Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1472

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

1.19 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

6 ln5 x

43.

44.

dx.

xln x

46.

sinxcos2 xdx.

47.

cosx

dx.

3 sinx

45. x261 x3dx.

5tgx 48. cos2 xdx.

					dx								1			4arcsin		x				4
49.					dx					.	50.								dx.	51.		4		arctgx						dx.
								2
				ctg	4	xsin
					4
52.		7							x						1 x2								1 x2
52.											53.	e4cos x 1 sinxdx.								54.				cosx							dx.
																								cosx
	1 2sinx cosxdx.
																						2 sin2
																						2 sin2							x
				x3																						dx.
															x
55.							dx.				56.				x		dx.			57.					x
			sin2 x4											x 1						dx		x 4

58.				ex 1dx													59.

																					x 5
																			1
(подстановка ex 1 t2 ).																			1								2
(подстановка ex 1 t2 ).																	(подстановка x 5 t										2	).
																	(подстановка x 5 t											).

§3. Интегрирование по частям

Если u (x) и v (x) − дифференцируемые функции, то

udv uv vdu.	(1)
Формула (1) называется формулой интегрирования по частям.
Она даёт возможность свести вычисление интеграла udv	к
вычислению интеграла vdu, который оказывается более простым.
При нахождении интегралов типа
P(x)eaxdx, P(x)sinaxdx, P(x)cosaxdx

за u следует принять многочлен P(x), а за dv − соответственно выражения eaxdx, sinaxdx, cosaxdx; при отыскании интегралов вида

P(x)lnxdx, P(x)arcsin xdx, P(x)arccos xdx,

P(x)arctgxdx, P(x)arcctgxdx

за u принимаются соответственно функции lnx, arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx, а за dv − выражение P(x)dx.

Проинтегрировать:

1)(4x3 6x 7)lnxdx, 2) (x 3)cosxdx, 3) x2e4xdx,

4)xarcctgxdx, 5) e x sinxdx.

Решение: 1) Воспользуемся формулой интегрирования по частям, имеем

u ln x

(4x3 6x 7)ln xdx

(x4

3x2 7x)ln x

dv (4x3 6x 7)dx

v x4 3x2 7x

x4 3x2 7x

3x2

dx (x 3x 7x)ln x

C .

u x 3

2) (x 3)cosxdx

du dx

(x 3)sinx sinxdx

dv cosxdx

v sinx

(x 3)sin x cos x C.

u x2

du 2xdx

dx dv e4xdx

dx.

v1e4x

Кпоследнему интегралу снова применим формулу интегрирования по частям.

u x du dx

xe4xdx dv e4xdx

v1e4x

1	xe	4x	1	e	4x	dx	1	xe	4x	1	e	4x	.

			4				4			16
4

Подставляя найденное выражение в первоначальное выражение, имеем


x2e4xdx	1	x2e4x	1		1	xe4x		1	e4x	C	1	x2e4x	1	xe4x	1	e4x C.
											4
4		2		4			16					8			32

u arcctgx

4) xarcctgxdx

1 x2

arcctgx

1 x2

dv xdx

1 x2 1 1

arcctgx

1 x2

arcctgx

arctgx C.

ue x

5)e x sinxdx du e xdx e x cosx e x cosxdx. dv sinxdx

vcosx

К последнему интегралу снова применяем формулу интегрирования по частям.

			u e x
e	x	cosxdx	du e xdx	e	x	sinx e	x	sinxdx.
e		cosxdx	dv cosxdx	e		sinx e		sinxdx.
			dv cosxdx
			v sinx

Таким образом,

e x sinxdx e x cosx e x sinx e x sinxdx

e x cosx e x sinx e x sinxdx.

Вправой части последнего соотношения стоит искомый интеграл

e x sinxdx. Перенося его в левую часть, получим

2 e x sinxdx e x cosx e x sinx.

Откуда

e x sinxdx e x cosx sinx C. 2

Проинтегрировать:

60. x 7 sinxdx.

63. x2 ln xdx.

66. x 2 3xdx.

arcsin x

69. x2 dx.

72. 4x sinxdx.

61.		1 3x cos2xdx.			62.	x2 cosxdx.
64.		x		dx.	65.	4 x e 3xdx.
		cos2
			x			ln1 x2 dx.
67.	x2 6x e xdx.				68.
70.	arctgxdx.				71.	e2x cosxdx.
73.	cos							t).
			xdx (подстановка				x

§4. Интегрирование функций, содержащих квадратный трёхчлен

1. Интегралы вида	Ax B	dx. Основной приём вычисления −

	ax2 bx c

выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена, стоящего в знаменателе, и разложение полученного интеграла на сумму двух интегралов.

2. Интегралы вида	Ax B	dx. Следует выделить полный


	ax2 bx c

квадрат из квадратного трёхчлена подкоренного выражения и разложить на сумму двух интегралов.

Проинтегрировать: 1)

, 2)

(3x 5)dx

x2 2x 10

x2 2x 5

xdx

, 4)

3 x 2x2

x2 4x 5

Решение: 1) Выделим из квадратного трёхчлена полный квадрат:

x2 2x 5 (x2 2x 1) 1 5 (x 1)2 4.

Отсюда находим

d(x 1)

arctg

x 1

C .

x2 2x 5

(x 1)2

(x 1)2 4 2

2)Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена, получаем

x2 2x 10 (x2 2x 1) 1 10 (x 1)2 9.

Следовательно,

				(3x 5)dx											(3x 5)dx									t x 1									3(t 1) 5										3t 2
				(3x 5)dx											(3x 5)dx									x t 1									3(t 1) 5							dt			3t 2		dt
																								x t 1																dt					dt
			x2 2x 10											(x 1)2 9										dx dt											t2 9								t2 9
																								dx dt
3				tdt		2			dt								3		d(t2 9)						2				dt						3	ln(t2			9)
3						2	t2 9										2								2											ln(t2			9)
	t2 9						t2 9										2			t2 9							t2 9 2
	2	arctg			t	C						3			ln(x2			2x 10)								2		arctg			x 1					C .
		arctg				C									ln(x2			2x 10)								3		arctg								C .
3			3								2															3								3
			3) Выделяя полный квадрат из квадратного трёхчлена, имеем
										2									2		1				3							2					1				1	1		3
				3 x 2x									2 x										x			2 x								2				x
				3 x 2x									2 x								2		x			2 x								2			4	x			16
																					2				2												4				16	16 2
								1			2					25						25					1			2
								1								25						25					1				.
						x																			x
				2		x												2							x
								4								16						16					4
								4								16						16					4

Отсюда получаем

dx				dx

3 x 2x	2		25		1	2
	2					2

				x
		2		x
			16		4
			16		4

				1
1		d x
		d x		4
				4

2	25					1 2
			x
	16		x		4
	16				4

	1		arcsin	x 1/	4	C	1		arcsin	4x 1	C.

2		5/4					2	5

4) Прежде всего, выделим полный квадрат из квадратного трёхчлена

x2 4x 5 x2 2 2x 4 4 5 (x 2)2 1.

Таким образом,

xdx

t x 2

t 2

tdt

x t 2

x2 4x 5

(x 2)2 1

dx dt

t2 1

t2 1)

t2 1

2ln

t2 1 2

t2 1

x2 4x 5 2ln x 2 x2 4x 5 C.

Проинтегрировать:

74.		dx				.		75.		dx			.
74.						.		75.	6x 9x2				.
	x2 10x 34								6x 9x2			1
76.		dx		.				77.		dx	.
76.	2x2 2x 5			.				77.	x 2x2		.
	2x2 2x 5								x 2x2
78.		dx			.			79.		dx						.

		5 4x x2								x2 10x 28
80.	x 4 dx		.					81.	6x 1 dx					.
80.			.					81.						.
	x2 x 12								x2 4x 13
82.		3x 5					dx.	83.		7 x					dx.
82.							dx.	83.							dx.
		x2 6x 20								3 2x x2

§5.Интегрирование рациональных дробей

1. Простейшие дроби и их интегрирование. Рациональная дробь


	Pn x	, где P x ,Q					m	x − многочлены степени n и m соответственно,
		, где P x ,Q						x − многочлены степени n и m соответственно,
	Qm x				n
	Qm x								n m, то дробь
называется					правильной, если n m. Если				n m, то дробь
неправильная.
	Простейшими рациональными дробями называются дроби,
приводящиеся к следующим типам:
	I.			A	,
	I.		x a		,
	II.			A		, n 1,
	II.			x a n		, n 1,

Mx N

III. x2 px q ,

IV.	M x N	,	n 1,	x2 px q 0 − не имеет действитель-
	x2 px q n

ных корней.

Простейшие дроби интегрируются следующим образом:

A	dx A	d(x a)	Aln	x a	C,


x a		x a

A	1		A
	dx A (x a) n d(x a)			C .
x a n		n 1	x a n 1

Интегрирование простейшей дроби III типа было рассмотрено в § 4.

Для интегрирования простейшей дроби IV типа выделить полный квадрат из квадратного трёхчлена в знаменателе дроби, т.е.

	2		p 2		p	2	p
x		px q x		q		. Сделать подстановку t x		и
			2		2		2

разложить полученный интеграл на сумму двух интегралов: первый интеграл интегрируется непосредственно, второй интеграл с помощью рекуррентной формулы:

2n 3

. (2)

2 n 2 n 1 k2

2 n 1

2. Разложение правильной рациональной дроби на сумму

простейших дробей.

Любая правильная рациональная дробь

Pn x

Qm x

может быть единственным образом представлена в виде суммы простейших рациональных дробей. Если знаменатель записать в виде произведения неповторяющихся линейных и квадратных множителей

Qm x (x a1)k1 ... (x an)kn (x2 p1x q1)r ,

где k1,k2,...,kn,r − натуральные числа, то эту дробь можно представить в виде следующей суммы простейших дробей:

P x

B x C

...

. (3)

Qm x

(x2 p1x q1)r

(x a1)

(x a1)k1

(x2 p1x q1)

Коэффициенты A1,A2,...,B1,C1,...,Br,Cr в разложении находятся с помощью метода неопределённых коэффициентов. Для этого обе части равенства (3) приводят к общему знаменателю, а затем приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях x (первый способ). Не раскрывая скобок, дать аргументу x столько различных значений, сколько имеется неопределённых коэффициентов (второй способ).

3. Интегрирование неправильных рациональных дробей. Для

нахождения интеграла от неправильной рациональной дроби Pn x Qm x

следует выделить из неё целую часть, т.е. представить в виде

Pn x	L x	r x	,
Qm x		Qm x

где L x − многочлен (целая часть при делении); r x − остаток от деления.

Проинтегрировать: 1)

(5 4x)dx

, 2)

(x2 6)dx

(x 1)(x 2)

x(x 3)2

(x2 5x 9)dx

(x3 x)dx

x4 3x2 5x2 30x 22

dx.

, 4)

, 5)

(x 1)2(x2 2x 2)

(x2 2x 2)2

x3 x2 8x 12

Решение: 1) Представим подынтегральную функцию в виде

суммы простейших дробей, т.е.

5 4x

(x 1)(x 2)

x 1

x 2

Приводя дроби в правой части равенства к общему знаменателю и приравнивая после этого числители правой и левой частей, получим

5 4x A(x 2) B(x 1).

Полагая в полученном тождестве x 2, имеем

5 4 2 3B

B 1.

Полагая x 1, имеем 5 4 ( 1) 3A

A 3.

Таким образом, искомый интеграл

(5 4x)dx

3ln

x 1

x 2

(x 1)(x 2)

x 1

x 2

2) Под интегралом стоит правильная рациональная дробь.

Разлагая её на сумму простейших дробей, получим

x2 6

x(x 3)2

(x 3)2

x x 3

Приведём правую часть полученного соотношения к общему знаменателю:

x2 6 A(x 3)2 Bx(x 3) Cx.

Для нахождения неопределённых коэффициентов будем комбинировать два вышеизложенных способа.

Полагая x 3, получим 9 6 3C C 5.

При x 0 имеем 6 9A	A	2	.

	3

Для определения коэффициента B сравним коэффициенты при x2 в обеих частях тождества: 1 A B, откуда B 1 A 1.

Находим искомый интеграл:

(x2 6)dx

x 3

x(x 3)2

3 x

3 x 3

(x 3)2

x 3

3) Представим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей.

x2 5x 9		A	B	Cx D		.

(x 1)2(x2			(x 1)2	x2	2x 2
	2x 2)	x 1

Приводя правую часть равенства к общему знаменателю и сравнивая числители, получаем

x2 5x 9 A(x 1)(x2 2x 2) B(x2		2x 2) (Cx D)(x 1)2.
Полагая x 1, находим B:
1 5 9 B(1 2 2)		B 1.
Числа A,C, D найдём, приравнивая коэффициенты при x3, x и
свободные члены в тождестве:
при x3:		A C 0;
при x:	2B C 2D 5;
при x0:	2A 2B D 9.
Решив полученную систему, получим A			7	, C	7	, D	21	.
Решив полученную систему, получим A			5	, C	5	, D		.
Следовательно,			5		5	5
Следовательно,
(x2 5x 9)dx	7 dx	dx	7		(x 3)dx

(x 1)2(x2 2x 2) 5 x 1 (x 1)2 5 x2 2x 2.

Впоследнем интеграле x2 2x 2 0 не имеет действительных корней. Для его вычисления выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена, стоящего в знаменателе.

x2 2x 2 x2 2x 1 1 2 (x 1)2 1.

Тогда

(x 3)dx

t x 1

t 2

tdt

x t 1

x2 2x 2

(x 1)2 1

t2 1

dx dt

t2 1

d(t2 1)

2arctgt C

t2 1

1ln x2 2x 2 2arctg(x 1) C . 2

Таким образом, имеем

(x2 5x 9)dx

x 1

2x 2

arctg(x 1) C.

(x 1)2(x2 2x 2)

x 1 10

4) Квадратный трёхчлен

x2 2x 2

не имеет

действительных

корней. Поэтому подынтегральная дробь раскладывается на слагаемые следующим образом:

x3 x

Ax B

Cx D

(x2 2x 2)2

x2 2x 2

Следовательно,

x3 x (Ax B)(x2 2x 2) Cx D.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:

при x3:

A 1;

при x2:

2A B 0;

при x:

2A 2B C 1;

при x0:

2B D 0.

Откуда получаем A 1,

B 2,

C 3,

D 4. Следовательно,

(x3 x)dx

(x 2)dx

(3x 4)dx

(x 2)dx

(x2 2x 2)2

x2 2x 2

(x2 2x 2)2

(x 1)2 1

(3x 4)dx

t x 1

t 3

3t 1

tdt

x t 1

((x 1)2 1)2

(t2 1)2

t2 1

dx dt

tdt

d(t2

d(t2 1)

(t2 1)2

2 (t2 1)2

t2 1

3arctgt

(t2 1)2

2(t2

(t2

1)2

<<< < Предыдущая 12 / 92 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20211.18 Mб31468.pdf
#
07.01.20211.18 Mб21469.pdf
#
07.01.2021312.37 Кб0147.pdf
#
07.01.20211.18 Mб81470.pdf
#
07.01.20211.18 Mб101471.pdf
#
07.01.20211.19 Mб11472.pdf
#
07.01.20211.19 Mб01473.pdf
#
07.01.20211.19 Mб171474.pdf
#
07.01.20211.19 Mб61475.pdf
#
07.01.20211.19 Mб261476.pdf
#
07.01.20211.19 Mб101477.pdf