1472

dt

1

t

(2 2 3)

dt

1

t

1

arctgt C.

(t

2

1)

2

2(2 1)

2

1

t

2

2

t

2

1

2

t

1

Итак, находим искомый интеграл:

(x3 x)dx

1

ln

t

2

1

3arctgt

3

t

1

arctgt C

(x2

2x 2)2

2

2(t2

1)

2(t2 1)

2

1

ln

x

2

2x

2

5

arctg(x

1)

x 2

C.

2

2

2(x2 2x 2)

x4 3x2 5x2 30x 22

x 2

x2 2x 2

.

x3 x2

8x 12

x3 x2

8x 12

Следовательно,

x4 3x2 5x2 30x 22

dx (x 2)dx

x2 2x 2

dx.

x3 x2 8x 12

x3 x

2 8x 12

Первый интеграл интегрируется непосредственно

x2

(x 2)dx

2x.

2

Постоянное C отпускаем, относя его ко второму члену.

Во втором интеграле замечая, что

x3 x2 8x 12 (x 2)2(x 3),

разложим правильную рациональную дробь

x2 2x 2

x2 2x 2

x3

x2 8x 12

(x 2)2(x 3)

на простейшие дроби:

x2 2x 2

A

B

C

.

(x 2)2

x 2

(x 2)2

x 3

(x 3)

Поэтому

5

x2 2x 2

dx

4

dx

2

dx

1 dx

(x 2)

(x 2)2

(x 3)

x3 x2 8x 12

5

5

4

ln

x 2

2

1

ln

x 3

C .

5

x 2

5

Находим искомый интеграл

x4 3x2 5x2 30x 22

dx

x2

2x

4

ln

x 2

2

1

ln

x 3

C.

x3 x2 8x 12

2

5

x 2 5

Проинтегрировать:

84.

3x 8

dx.

85.

5x 10 x2

dx.

86.

x2 72

dx.

x 2 x 5

x x 4 x 3

x2 4x 3

87.

88.

3x 1

dx.

x2

5x 9

x4 16x3 5x 8

89.

dx.

dx.

x 3 2 x 5

x 2 3

x3 16x

91.

x3 10x 25

5x4 x3 4x2 8

90.

dx.

(4x2 5x 9)dx

92.

dx.

x2 x 5 2

x2 4x 13 x 1

.

x3 8

93.

x3 x 1

dx.

94.

(x3 12x2 3x)dx

dx.

95.

(x3 1)dx

.

x2

4x 5 2

(x2

2)2

(x2 2x 2)(x2 1)

sinm xcosn xdx,

(4)

где m и n − целые числа.

Рассмотрим следующие случаи:

а) Если m − нечётное, то применяется подстановка

t cosx;

2

1 cos2x

2

1 cos2x

1

sin

x

, cos

x

, sin xcosx

sin2x.

2

2

2

R sinx,cosx dx,

(5)

где R − рациональная функция.

С помощью универсальной тригонометрической подстановки

t tg

x

,

2t

1 t2

2

2dt

откуда sin x

,

cosx

, dx

, интегралы вида

(5)

1 t2

1 t2

1 t2

sinmxcosnxdx,

cosmxcosnxdx,

sinmxsinnxdx.

(6)

Интегрируются на основании тригонометрических формул:

sinmxcosnx

1

sin m n x sin m n x ,

2

cosmxcosnx

1

cos m n x cos m n x ,

2

sinmxsinnx

1

cos m n x cos m n x ,

2

cos x cosx, sin x sin x.

Проинтегрировать:

1)

cos3 x

dx,

2)

cos10 xsin3 xdx,

sin3 xdx

sin6 x

sin2 x

dx

3)

,

4) sin

2

xcos

4

xdx,

5)

dx, 6)

,

4 cosx

cos6 x

sin3 x

7)

dx

, 8)

sin2xsin3xdx.

3 5cosx

Применим подстановку sinx t

и воспользуемся

Решение: 1)

формулой sin2 x cos2 x 1. Тогда

sinx t

cos

3

x

dx

cos

2

x

cosxdx

(1 sin

2

x)

cosxdx

cosxdx dt

sin6 x

sin6 x

sin6 x

1 t2

1

1

1

1

1

1

dt

dt

C

C.

t6

t4

5t5

3t3

t6

5sin5 x

3sin3 x

2) Воспользуемся подстановкой cos x t. Имеем

cos10 xsin3 xdx cos10 xsin2

xsinxdx cos10

x(1 cos2 x)sinxdx

cosx t

t10(1 t2)dt t10dt t12dt

t

11

t

13

C

sin xdx dt

11

13

3

2

2

cosx t

sin

xdx

sin x

sin xdx

1 cos

x

sin xdx

4 cosx

sin xdx dt

4 cosx

4 cos x

1 t

2

15

t

2

dt

t 4

dt

4t 15ln

t 4

C

4 t

t 4

2

cos2 x

4cosx 15ln

cosx 4

C.

2

4) Используя формулы понижения степени, получим

sin

2

xcos

4

xdx (sinxcosx)

2

cos

2

xdx

sin2x

2

1 cos2x

dx

2

2

sin

2xcos2xdx

1

2

2xdx sin

2

1

1 cos4x

dx

8

8

2

1

2

1 1

sin4x

1

sin3

2x

sin

2xd(sin2x)

x

C

2

8

4

2

3

2

1

1 tg2x. Тогда

cos2

x

sin2 x

dx

sin2 x

1

dx

tg2x(1 tg2x)d(tgx)

cos6 x

cos2 x

cos2

cos2 x

x

6) Представим числитель по формуле

sin2 x cos2 x 1 и

разделим почленно числитель на знаменатель, получим

dx

sin2 x cos2 x

dx

dx

cos2 x

dx.

sin3

sin3 x

sin3

x

x