Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1472

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

1.19 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

6. x a,b			b	b
6. x a,b	f x g x f x dx g x dx.
		f (x)	a	a	на a,b , то на этом
7. Если функция		f (x)	непрерывна		на a,b , то на этом	отрезке
					b	c a,b
существует	точка	c,	такая	что	f (x)dx f (c)(b a),	c a,b

(теорема о среднем).

Для вычисления определенного интеграла от функции y f (x) в том случае, когда можно найти соответствующий неопределённый интеграл F(x), служит формула Ньютона-Лейбница:

b
f x dx F b F a ,	(9)

где F x f x .

Замена переменной в определённом интеграле

Пусть для вычисления определённого интеграла f (x)dx от

непрерывной функции(t) и её производная a ( ) и b ( ), то

сделана подстановка x (t).	Если функция
	, , причём
(t) непрерывны на отрезке	, , причём
справедлива формула

b	f (x)dx		(10)

		f (t) (t)dt.
a

Интегрирование по частям в определённом интеграле

Интегрирование по частям в определённом интеграле осуществляется по формуле

u(x)dv u(x)v(x)

v(x)du,

(11)

где u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемы на a,b .

e2 ln xdx

Вычислить интегралы: 1) 5x4dx, 2)

(3x ex/4)dx, 3)

xdx

2ln2

e ln x

, 5)

, 6)

xcosxdx, 7)

dx.

x 1

ex 1

ln2

Решение: 1) По формуле Ньютона-Лейбница

																2										2														2					25						15 32 1 31.
																5x4dx 5 x4dx x5																													25						15 32 1 31.
																1										1															1
																1										1															1
				2) На основании формулы (9) находим
							4																	3x			2													4
								(3x ex/4)dx																					4ex/4																(24 4e) (0 4) 28 4e.
								(3x ex/4)dx																		2			4ex/4																(24 4e) (0 4) 28 4e.
							0																			2														0
	3)					e2 lnxdx											e2				lnxd(lnx)												(lnx)2											e2						(lne2)2										(lne)2													1			3
						e2 lnxdx											e2																(lnx)2											e2						(lne2)2										(lne)2													1			3
																																																																		2												.
											x																																																							2												.
							e				x							e																		2								e							2										2												2			2
																																												e															t
				4) Введем новую переменную,																																												полагая																								.		Отсюда
				4) Введем новую переменную,																																												полагая															x 1									.		Отсюда
находим t2 x 1,																						2tdt dx. При x 3																								имеем t																		2; при x 8
находим t2 x 1,																						2tdt dx. При x 3																								имеем t															3 1			2; при x 8
имеем								t											3.					Используя																			формулу												замены													переменной,
имеем								t						8 1					3.					Используя																			формулу												замены													переменной,
получим																																														3
8		xdx					3			t	2	1										3																	t	3						3							3														3												2
		xdx								t		1				2tdt						2 t			2	1dt							2						t					t									3											2												10			2	.

											t																											3													2		3				3								3					2									3
3			x 1 2								t											2																3															3												3														3
																																																2
																																																2
																																																																					2tdt						.
	5)						Полагаем														t			ex 1						.				Тогда												x ln1 t2													,		dx								2tdt								Если
	5)						Полагаем														t			ex 1						.				Тогда												x ln1 t2													,		dx																Если
x ln2, то t 1; если x 2ln2, то t																																																																			1 t2
																																																																			1 t2
																																															3		. Следовательно,
				2ln2						dx													2tdt														dt
																				3														3
																																													2arctgt											3
																																																								3
																												2																														2																			.
																							t(1 t2)					2								1 t2																		1				2																			.
					ln2				ex 1								1																1																													3 4											6
					ln2				ex 1								1																1																													3 4											6
	6)							Положим															u x,						dv cosxdx.																						Тогда									du dx,													v sinx.
Применяя формулу интегрирования по частям, найдём
																																																													cos cos0 2.

xcosxdx xsinx																		0			sinxdx sin 0sin0 cosx 0
0																						0										dx																							dx
				7) Положим u lnx,																						dv											, откуда du																					,			v 2										. Тогда
																																																																				x
																																																																				x
e																							e												x																				x
e																							e
		ln		x	dx 2								x		ln x 1e 2											x		dx			2								e			lne 2										1ln1 4										x	1e


1				x																		1						x

2e (4e 4) 2(2 e).

Вычислить определённые интегралы:

127. xdx.

130.sin3xdx.

133.	/4		dx
	/6
		sin2 x
				ctgx
136.	ln3		exdx		.


			e2x 1
	ln2

128.

131.

. 134.

137.

8								1
					4x							dx.		129.
							3
											2
1					3					x	2
1					3					x
	/2
				cos3xcos5xdx.										132.
/2
4						dx			.					135.
1
1			(1 2x)2
		3			/4 arcsinx									138.
2					/4 arcsinx									138.
													dx .

						1 x2
				3

		2

e2 2

5 7x

dx.

64 x2

1/2

3x dx

1/2

1 9x

/ 2

sin3 xcos4 xdx.

99dx

139.153 x 1.

142. xexdx.

145. arccosxdx.

	3/2
	3/2	1 x2dx.
	140.	1 x2dx.
	0

143.(x 1)cosxdx.

146.(1 x)sin xdx.

3			dx
141.				.


		x2	x2 9
	3	x2	x2 9

144. x2 ln xdx.

147. (2x 3)e xdx.

§ 2. Площадь плоской фигуры

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y f (x), двумя прямыми x a и x b и отрезком a x b оси ОХ (рис.1), вычисляется по формуле

		b
		S f (x)dx,	(12)
		a
если	f (x) 0	на отрезке a,b ;
		b
		S f (x)dx,	(13)
		a
если	f (x) 0	на отрезке a,b .

y f (x)

О	a	b	X
		Рис. 1

Формулы (12) и (13) можно объединить в одну:

	b
	S	f x	dx.			(14)
	S	f x	dx.			(14)
	a
Площадь фигуры, ограниченной двумя непрерывными кривыми
y1 f1(x) и	y2 f2(x) и двумя прямыми			x a	и x b,	где
f1(x) f2(x)	на отрезке a,b , находится по формуле (рис.2)
	b
	S f1 x f2 x dx.					(15)

y f1(x)

y f2(x)

О	a	b	X

Рис. 2

Если	кривая		задана		параметрическими				уравнениями
x x t ,	y(t) 0,	t , то площадь криволинейной трапеции,
	y(t) 0,	t , то площадь криволинейной трапеции,
y y t ,								x b и отрезком a,b
ограниченной этой кривой, прямыми x a							и	x b и отрезком a,b
оси ОХ, выражается по формуле
									(16)

			S y t x t dt,
где a ( ), b ( ).
где a ( ), b ( ).
Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой r r
и двумя	полярными		радиусами			1	и	2	(где 1 2 ),
вычисляется по формуле					2
			S	1	2	r2 d .			(17)
				1

			2		1

Вычислить площади фигур, ограниченных следующими линиями:

1)	параболой y x2 1, прямыми			x 1,	x 2 и осью
абсцисс;		1
2)	ветвью гиперболы y	1	, прямыми x 6,		x 2 и осью
2)	ветвью гиперболы y	x	, прямыми x 6,		x 2 и осью
		x

абсцисс;

3)параболой y x2 4x и прямой x y 4 0;

4)	x 3(t sint),	и осью абсцисс;
4)	одной аркой циклоиды	и осью абсцисс;
	y 3(1 cost)

5)лемнискатой r cos2 .

Решение: 1) На основании формулы (12) получим (рис. 3)

2	2	x3		2	8			1
S (x		1)dx		x			2		1	6	(кв. ед.).
			3			3		3
1				1

y x2 1

-1 О 2

Рис. 3

2) На отрезке 6, 2 функция f(x) 1 отрицательна (рис. 4). x

Поэтому воспользуемся формулой (13):

2	1	dx ln		2
S	1		x		(ln2 ln6) ln3 (кв. ед.).
S			x		(ln2 ln6) ln3 (кв. ед.).
6 x				6
				6

					Y
		-6			-2
					О	X

Рис. 4

3) Найдём абсциссы точек пересечения графиков данных

y x2 4x,

функций (рис. 5). Для этого решаем систему уравнений

y x 4.

-4

Рис.5

Откуда находим x1 4, x2 1. Площадь фигуры определяем по формуле (15):

	1						1						3x	2		x	3	1
S (x 4) (x2 4x)dx (4 3x x2)dx 4x													3x			x
S (x 4) (x2 4x)dx (4 3x x2)dx 4x
4							4					2			3			4
	3	1			64			125	(кв. ед.).
4			16 24
4	2		16 24		3			6
	2	3			3			6
4) При изменении x от 0 до 6 параметр t изменяется от 0 до 2
(рис.6). Находим
(рис.6). Находим				x (t) 3(1 cost) и по формуле (16) получаем
2							2			2
S 3(1 cost)3(1 cost)dt 9								(1 cost)2dt 9 1 2cost cos2 t dt
0							0			0		2
2				1 cos2t				3		sin2t		2
9 1 2cost						dt 9			t 2sint				27 (кв.ед.).
9 1 2cost				2		dt 9			t 2sint	4			27 (кв.ед.).
0				2				2		4	0

Рис.6

5) Изменению полярного угла от 0 до соответствует четверть

искомой площади (рис. 7).

Рис.7

По формуле (17) находим

	1 /4		/4
S 4		cos2 d sin2	1 (кв.ед.).
	2
		0	0

Найти площади фигур, ограниченных линиями:

148.y 4x; x 3; x 1; y 0.

149.2x y 3 0; x 0; y 0; x 4.

150.y e 2x ; x 1; x 1; y 0.

151.y arcsin x; y /4; y /3; x 0.

152.y 2x; y 5x; x 2; x 6.

153.y 3; x y 4 0.

154.y 8x x2; y x2 18x 12.

155.y 6x2; y 2x3.

156.x 4cost,y 6sint.

x 8cos3 t,

y 8sin3 t.

158.r 2a(1 cos ).

159.r asin3 .

160.r2 a2 sin4 .

§ 3. Длина дуги кривой

Если кривая на плоскости задана уравнением y f (x), то длина дуги этой кривой, заключённой между точками с абсциссами x a и x b, находится по формуле

		b
				f 2 x dx .
		l	1				(18)
В том	случае,	a	кривая		задана	параметрическими
		когда
уравнениями	x x t ,			и	y(t)	−	непрерывно
		(x(t)
	y y t ,

дифференцируемые функции), то длина дуги кривой, соответствующей монотонному изменению параметра t от до , вычисляется по формуле

	x 2 t y 2 t dt.
l	x 2 t y 2 t dt.	(19)

Если кривая задана в полярных координатах r r( ), то длина дуги кривой, соответствующей монотонному изменению полярного угла от 1 до 2, находится по формуле

	2
l	2	r2 r 2d .	(20)
l		r2 r 2d .	(20)
	1

Найти длину дуги кривой:

1) y ex/2 e x/2, 0 x 2;

2) x 3(t sint),

0 t ;

y 3(1 cost),

3) r a(1 cos ).

Решение: 1)

Дифференцируя,

находим

(ex/2 e x/2),

откуда

ex /2 e x/2

ex 2 e x

(ex 2 e x )

1 f 2(x)

и, следовательно, по формуле (18) имеем

x /2

dx ex /2 e x/ 2 02 e

2) Так как x (t) 3(1 cost)

, y

(t) 3sint, то

6sin

x 2(t) y 2(t)

9(1 cost)2

9sin2 t

2(1 cost)

По формуле (19) получим

l 6 sin

dt 12cos

12cos

12cos0 12.

3) Кардиоида симметрична относительно полярной оси. Изменяя полярный угол от 0 до , мы получим половину длины кардиоиды. Так как r asin , следовательно,



l 2	a(1 cos ) 2			asin 2d 2a	2(1 cos )	d 4a cos		d
l 2	a(1 cos ) 2			asin 2d 2a	2(1 cos )	d 4a cos	2	d
0				0	0		2
8asin			8asin	8asin0 8a.



	2	0	2
	2	0	2

Вычислить длины дуг кривых:

161.y2 x3, 0 x 5.

162.y lnsin x, x .

	2y x2							3	2
163.	2y x2					3 между точками пересечения с осью ОХ.
			t3
164.	x					t,		1 t 4.
164.	x		3			t,		1 t 4.
				2		2,
	y t					2,
		x			t	6	,
					t
165.								между точками пересечения с координатными осями.
165.				6			t4	между точками пересечения с координатными осями.
							t4
	y 2						4
							4

166. r 5sin .

167. r sin3 , 0 . 3 4

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 94 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.20211.18 Mб31468.pdf
#
07.01.20211.18 Mб21469.pdf
#
07.01.2021312.37 Кб0147.pdf
#
07.01.20211.18 Mб81470.pdf
#
07.01.20211.18 Mб101471.pdf
#
07.01.20211.19 Mб11472.pdf
#
07.01.20211.19 Mб01473.pdf
#
07.01.20211.19 Mб171474.pdf
#
07.01.20211.19 Mб61475.pdf
#
07.01.20211.19 Mб261476.pdf
#
07.01.20211.19 Mб101477.pdf