2 Семестр,

вариант – 17

1. Найти область определения функции . Является ли эта область определения ограниченной? замкнутой?

2. Для функции изобразить линии уровняz = 0,5; –1; 2. Могут ли линии разного уровня пересекаться?

3. Изобразить объём, ограниченный поверхностями

z = 1/( x² + y² ), , х 0.

4. Сформулировать теоремы Вейерштрасса. Построив семейство линий уровня функции z = x² + y², определить её наибольшее и наименьшее значения в области треугольника А(–1, –7), В(7, –1), С(5, –12).

5. Для функции проверить справедливость теоремы Шварца. Проверить также, что данная функция удовлетворяет уравнению Лапласа

.

6. Дать определение дифференциала функции двух переменных на данном отрезке. Заменив приращение функции её дифференциалом, вычислить приближенное значение функции в точке (2,007; 7,996).

7. Исследовать на экстремум функцию z = 3x²y + y³ – 6xy . Изобразить на плоскости линию уровня z = 0 , области знакопостоянства функции и её критические точки.

8. Проверить, что функциональное уравнение (x–3y)(2x–)+3x²– y = 0 удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1). Для проходящего через указанную точку решения у = у(х) этого уравнения найти первые три слагаемых формулы Тейлора – Пеано.

9. Проверить, что функциональное уравнение удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1, 1). При помощи линеаризации найти приближенное выражение для проходящего через указанную точку решения z = z(x,y) этого уравнения.

10. В дифференциальном уравнении произвести замену независимых переменных .

11. Исследовать на условный экстремум функцию z = 6x + 5y при условии

2x² + y² – 6x – 5y =0.

Построив кривую-условие и семейство линий уровня функции, обосновать графически полученные результаты.

12. Цены товаров Х и Y равны соответственно 8 и 5 за единицу товара. Сколько единиц товаров Х и Y следует купить на сумму Q = 200, чтобы функция полезности U = x²y³ была максимальной.

Д

КАНТ - 99

ОМАШНЯЯ РАБОТА

(функции многих переменных),

2 Семестр,

вариант – 18

1. Найти область определения функции . Является ли эта область определения ограниченной? замкнутой?

2. Для функции изобразить линии уровняz = 0,5; –1; 2. Могут ли линии разного уровня пересекаться?

3. Изобразить объём, ограниченный поверхностями

z = 2, z = 1/( x² + y² ), .

4. Сформулировать теоремы Вейерштрасса. Построив семейство линий уровня функции z = 2x + y, определить её наибольшее и наименьшее значения в области, ограниченной линиями у = – х² , у = – х – 2 .

5. Для функции проверить справедливость теоремы Шварца. Проверить также, что данная функция удовлетворяет уравнению Лапласа

.

6. Дать определение дифференциала функции двух переменных на данном отрезке. Заменив приращение функции её дифференциалом, вычислить приближенное значение функции в точке (9,0012; 7,9976).

7. Исследовать на экстремум функцию z = 6xy + 3x²y + y³ . Изобразить на плоскости линию уровня z = 0 , области знакопостоянства функции и её критические точки.

8. Проверить, что функциональное уравнение 2ln(2y – x) – 3ySin(y – x) = 0 удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1). Для проходящего через указанную точку решения у = у(х) этого уравнения найти первые три слагаемых формулы Тейлора – Пеано.

9. Проверить, что функциональное уравнение удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1, 1). При помощи линеаризации найти приближенное выражение для проходящего через указанную точку решения z = z(x,y) этого уравнения.

10. В дифференциальном уравнении произвести замену независимых переменных .

11. Исследовать на условный экстремум функцию z = x² + y² при условии

x² + y² – 2x – 4y – 15 =0.

Построив кривую-условие и семейство линий уровня функции, обосновать графически полученные результаты.

12. Цены товаров Х и Y равны соответственно 3 и 6 за единицу товара. Какую минимальную сумму следует затратить на приобретение этих товаров для того, чтобы функции полезности U = xy² приняла значение U = 27 .

Д

КАНТ - 99

ОМАШНЯЯ РАБОТА

(функции многих переменных),