Д

КАНТ - 99

ОМАШНЯЯ РАБОТА

(функции многих переменных),

2 Семестр,

вариант – 1

1. Найти область определения функции . Является ли эта область определения ограниченной? замкнутой?

2. Для функции изобразить линии уровняz = –1; 1; 2. Могут ли линии разного уровня пересекаться?

3. Изобразить объём, ограниченный поверхностями

z = 0, x² + y² =1, z =1– y² .

4. Сформулировать теоремы Вейерштрасса. Построив семейство линий уровня функции z = x² + y², определить её наибольшее и наименьшее значения в области треугольника А(–1, 7), В(7, 1), С(5, 12).

5. Для функции проверить справедливость теоремы Шварца. Проверить также, что данная функция удовлетворяет уравнению Лапласа

.

6. Дать определение дифференциала функции двух переменных на данном отрезке. Заменив приращение функции её дифференциалом, вычислить приближенное значение функции в точке (27,027; 8,994).

7. Исследовать на экстремум функцию z = 3x²y – 2xy² + 18xy . Изобразить на плоскости линию уровня z = 0 , области знакопостоянства функции и её критические точки.

8. Проверить, что функциональное уравнение удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1). Для проходящего через указанную точку решения у = у(х) этого уравнения найти первые три слагаемых формулы Тейлора – Пеано.

9. Проверить, что функциональное уравнение удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1, 1). При помощи линеаризации найти приближенное выражение для проходящего через указанную точку решения z = z(x,y) этого уравнения.

10. В дифференциальном уравнении произвести замену независимых переменных .

11. Исследовать на условный экстремум функцию z = 2x +3y при условии

2 x² + y² –2x – 3y =0.

Построив кривую-условие и семейство линий уровня функции, обосновать графически полученные результаты.

12. Цены товаров Х и Y равны соответственно 7 и 5 за единицу товара. Сколько единиц товаров Х и Y следует купить на сумму Q = 105, чтобы функция полезности U = x²y была максимальной.

Д

КАНТ - 99

ОМАШНЯЯ РАБОТА

(функции многих переменных),

2 Семестр,

вариант – 2

1. Найти область определения функции . Является ли эта область определения ограниченной? замкнутой?

2. Для функции изобразить линии уровняz = 0; 1; –2. Могут ли линии разного уровня пересекаться?

3. Изобразить объём, ограниченный поверхностями

xy z = 0, x + y =2, z = x² + y² .

4. Сформулировать теоремы Вейерштрасса. Построив семейство линий уровня функции z = 2x – y, определить её наибольшее и наименьшее значения в области, ограниченной линиями у = х² , у = х+2 .

5. Для функции проверить справедливость теоремы Шварца. Проверить также, что данная функция удовлетворяет уравнению Лапласа

.

6. Дать определение дифференциала функции двух переменных на данном отрезке. Заменив приращение функции её дифференциалом, вычислить приближенное значение функции в точке (3,01; 1,99).

7. Исследовать на экстремум функцию z = x²y + 2xy² – 6xy . Изобразить на плоскости линию уровня z = 0 , области знакопостоянства функции и её критические точки.

8. Проверить, что функциональное уравнение удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1). Для проходящего через указанную точку решенияу = у(х) этого уравнения найти первые три слагаемых формулы Тейлора – Пеано.

9. Проверить, что функциональное уравнение удовлетворяет условиям теоремы Юнга в окрестности точки (1, 1, 1). При помощи линеаризации найти приближенное выражение для проходящего через указанную точку решения z = z(x,y) этого уравнения.

10. В дифференциальном уравнении произвести замену независимых переменных .

11. Исследовать на условный экстремум функцию z = x² + y² при условии

x² + y² – 4x – 2y –15 =0.

Построив кривую-условие и семейство линий уровня функции, обосновать графически полученные результаты.

12. Цены товаров Х и Y равны соответственно 18 и 12 за единицу товара. Какую минимальную сумму следует затратить на приобретение этих товаров для того, чтобы функции полезности U = x³y² приняла значение U = 32 .

Д

КАНТ - 99

ОМАШНЯЯ РАБОТА

(функции многих переменных),