722

Т.Е. Болдовская, Р.Г. Флаум

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Учебное пособие

Омск – 2010

3

Оглавление

§2. Обратная матрица………………………………………….. 20

§3. Ранг матрицы………………………………………………. 23

Задачи для самостоятельной работы………………………….. 26

§2. Критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли……………………. 29

§3. Решение невырожденных систем линейных алгебраиче-

ских уравнений………………………………………………………. 31

§4. Решение систем линейных алгебраических уравнений

6

Введение

Данное пособие предназначено для студентов инженерных специальностей, изучающих курс линейной алгебры по дисциплине «Высшая математика». Оно охватывает традиционные разделы линейной алгебры: вопросы, связанные с операциями над матрицами, теорию определителей, квадратичные формы. В пособии также подробно рассмотрены методы исследования и решения систем линейных алгебраических уравнений (включая линейные однородные системы уравнений). Изложение теоретического материала по всем темам сопровождается рассмотрением типовых примеров и задач. Они подобраны так, чтобы в процессе ознакомления с их решениями читатель мог самостоятельно овладеть основными методами решения задач по линейной алгебре. Для этой цели в пособие помещены задачи для самостоятельного решения, дополняющие и углубляющие изучаемые вопросы, а также типовой расчет, который должен быть выполнен в соответствии с рабочей программой студентами инженерных специальностей за время изучения курса линейной алгебры. Для проверки остаточных знаний студентов в пособии приведены тестовые задания, включающие в себя основные разделы изученного курса.

7

Глава 1. МАТРИЦЫ

§ 1. Основные понятия

Всякая система из m n элементов, расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов, называется матрицей. Матрица записывается в виде

Числа aij называют элементами матрицы.

Если число строк матрицы равно числу её столбцов (т.е. m n), то матрица называется квадратной. Квадратную матрицу размера n n называют матрицей n-го порядка. В квадратной матрице особо выделяют диагональ матрицы, идущую из левого верхнего в правый нижний угол, которую называют главной диагональю.

Рассмотрим некоторые специальные виды матрицы.

1. Матрица-строка − прямоугольная матрица размера 1 n. Поскольку в этом случае матрица содержит одну строку, то элементы можно обозначить одним индексом.

2. Матрица-столбец − прямоугольная матрица размера m 1.

a1

a2 A .

am

3. Нулевая матрица − матрица, все элементы которой равны нулю. Обозначается буквой О.

8

4. Диагональная матрица − квадратная матрица n-го порядка

5. Единичная матрица − диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице. Обозначается

матрица 3-го порядка.

6. Верхняя треугольная матрица − квадратная матрица, у кото-

рой все элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны нулю. Обозначается Tn (tij) tij 0 при i j. Например,

7. Нижняя треугольная матрица − квадратная матрица, у кото-

рой все элементы, стоящие выше главной диагонали, равны нулю.

8. Транспонированная матрица − матрица, полученная из дан-

ной заменой каждой её строки столбцом с тем же номером. Обознача-

9. Симметричная матрица − квадратная матрица, у которой элементы, расположенные симметрично относительно главной диаго-

Симметричная матрица совпадает с транспонированной матрицей, т.е. выполняется условие A AT .

9

§2. Операции над матрицами

1.Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны,

Операция сложения матриц обладает следующими свойствами:

а) A B B A;

б) A (B C) (A B) C;

в) A O A, где O − нулевая матрица соответствующего порядка. 3. Умножение матрицы на число. Чтобы умножить число на

матрицу A или матрицу A на число , надо все элементы матрицы

(A B) A B;

( A) A;

A ( B) A B.

10

Операции суммирования и умножения на число позволяют определить разность матриц (обозначают A B). При этом получаем

A B A ( 1)B aij bij i, j.

4. Умножение матриц. Пусть заданы две матрицы Am,l и Bl,n ,

при этом число столбцов первой матрицы равно числу строк второй,

Правило умножения матриц часто называют правилом «строка на столбец», так как чтобы получить элемент, стоящий в i-й строке и j-м столбце произведения 2-х матриц, надо элементы i-й строки первой матрицы умножить на соответствующие элементы j-го столбца второй матрицы и полученные произведения сложить.

Пример.

Произведение матриц в общем случае зависит от порядка сомножителей. Найдем произведение B A:

Получим, что A B B A, т.е. произведение матриц не обладает коммутативным свойством.

11

Может случиться также, что произведение двух матриц, взятых в одном порядке, будет иметь смысл, а произведение тех же матриц, взятых в противоположном порядке, теряет смысл. Произведение матриц определено только в том случае, когда число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы.

Тогда

столбца, а матрица A только 2 строки.

Из определения произведения матриц вытекают следующие свойства:

а) (A B) ( A) B A ( B);

б) (A B) C A C B C;

в) C (A B) C A C B; г) A(B C) (A B)C;

д) A B T BT AT .

5. Элементарные преобразования матриц:

1)умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля;

2)прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число;

3)перемена местами строк (столбцов) матрицы;

4)отбрасывание строк (столбцов) матрицы, все элементы которых равны нулю.

Матрицы, получающиеся одна из другой при элементарных

преобразованиях, называются эквивалентными и обозначаются

A ~ B.

12