Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

722

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.01.2021

Размер:

655 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

9y2	2y y	2	13y2 .
1	1			2
Квадратичные				формы f (x1,x2) и f y1, y2 различны, однако

численные значения этих форм в любой точке совпадают, только нужно иметь в виду, что одна и та же точка в старой системе имеет координаты x1 и x2, а в новой системе y1 и y2.

Поставим перед собой задачу: таким образом подобрать

выражения для переменных

и x2,

чтобы в квадратичной форме

f y1, y2 отсутствовало произведение y1y2 :

f y , y

y2 y2.

Специальный вид квадратичной формы, когда коэффициент при

произведении переменных равен нулю, называется каноническим.

Рассмотрим

матрицу-строку

YТ

Подставим

выражение

X L Y

равенство

f x ,x

XТ A X ,

получим

f x ,x

L Y Т A L Y .

По

правилу

транспонирования

произведения L Y Т

YT LT . Следовательно,

f x ,x

L Y Т A L Y YT LT AL Y f

y , y

матрица LT AL

Действительно,

симметрична, т.к. по правилу

транспонирования

матриц

LT AL T

LT AT LT T

LT AL, в силу

условия АТ

из-за

симметричности

матрицы

А.

Поэтому

выражение

y ,

YT LT AL Y

есть

квадратичная

форма от

переменных

y2.

новой

системе

координат

матрица

квадратичной формы имеет вид LT AL, где L − матрица перехода.

Примем, что L 1 LT . Тогда матрица L называется ортогональной. Для ортогональной матрицы справедливо следующее равенство: L 1 L LT L E.

Выберем теперь новую систему координат Oy1y2 таким образом, чтобы

					0
			LT AL	1		.
				0	2
				0	2
Для этого умножим обе части этого равенства слева на матрицу
		0
L: L	1		LLT AL LL 1AL EAL AL.
	0	2
	0	2

Данное равенство справедливо в силу ортогональности матрицы

Тогда:

															0
										L			1			AL,
													0
															2
					0					11			12	0																	,
	L		1							11			12			1							11 1					12 2			,
			0			2				12			22	0
						2				12			22						2				12 1					22 2
a			a					11			12			a			11	a				12		a			12	a				22
AL	11		a	12				11			12				11		11			12		12			11		12			12		22	.
a			a	22				12			22			a			11	a				12		a			12	a				22
	12			22				12			22				12		11			22		12			12		12			22		22
Имеем											a				a						a				a
							12		2		a				a				12		a			12	a				22
		11		1			12		2			11		11		12			12			11		12		12			22	.
							22		2		a				a				12		a			12	a				22
		12		1			22		2			12		11		22			12		12			12			22		22

По определению равенства матриц, получаем:

a		a	,			a			a	,
11 1	11 11	12 12		и	12	2	11	12	12 22		.
a		a				2	a	12	a		.
12 1	12 11	22 12			22	2	12	12	22 22

Преобразуя полученные системы, имеем:

a11 1 11 a12 12 0,						a11 2 12 a12 22 0,
a	a	22		12	0	и a	a	22	2	22	0.
12 11		22	1	12		12 12		22	2	22

Полученные системы линейных уравнений для нахождения неизвестных 11, 12, 22 являются однородными. Для того чтобы данные системы имели ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы определители систем были равны нулю:

a11 1

a12

a11 2

a12

a22 1

a12

a22 2

Таким образом, числа 1

и 2 являются корнями уравнения

a11

a12

0 или 2 a

a a

a2 0.

a12

a22

Данное уравнение называют характеристическим уравнением.

Корни уравнения 1 и

называются

собственными

значениями

матрицы A.

Дискриминант характеристического уравнения всегда неотрицателен, следовательно, корни уравнения 1 и 2 действительные числа. Решая характеристическое уравнение, получаем:

	1
	1		a11	a22	4a122 a11 a22 2 ,
1
1	2
	2
2		1	a11 a22 4a122 a11 a22 2 .
2	2		a11 a22 4a122 a11 a22 2 .
	2

Подставляя найденные значения 1 и 2 в системы

a11 1 11 a12 12 0,						a11 2 12 a12 22 0,
a	a	22		12	0	и a	12	a	22	2	22	0,
12 11			1			12

находят неизвестные коэффициенты преобразования 11, 12, 22 . Пример. Привести квадратичную форму к каноническому виду:

f (x1,x2) x12 3x1x2 2x22 .

Решение. В данном случае a																	1,				a				3			, a			2.
Решение. В данном случае a																	1,				a				2			, a			2.
																11					12				2					22
Составляем характеристическое уравнение:

						1									3
						1								2		0 или					4 2 12 5 0.

									3
									3		2
								2			2
								2
Отсюда					5		,					1	. Тогда в системе координат Oy y																								наша
Отсюда							,						. Тогда в системе координат Oy y																								наша
		1		2						2	2											5					1							1	2
квадратичная форма имеет вид f																	y , y					5	y2				1		y	2.
квадратичная форма имеет вид f																	y , y						y2						y	2.
																		1		2	2			1				2		2
Замечание. Квадратичную форму от трех переменных
f (x ,x	2	,x	3	) a x2							a			22	x2	a		33	x2		2a x x					2		2a x x					3	2a		23	x	2	x	3
1	2		3					11		1				22	2			33	3		12			1		2				13		1	3			23		2		3

можно привести к каноническому виду:

f (y1, y2, y3) 1y12 2 y22 3y32,

где 1, 2 , 3 − собственные значения матрицы квадратичной формы. Они удовлетворяют характеристическому уравнению

a11	a12	a13
a12	a22	a23	0.
a13	a23	a33

Пример. Привести квадратичную форму

f (x ,x	2	,x	3	) 2x2 2x2			5x2		2x x			2	4x x	3	4x	2	x	3
1	2		3	1		2		3		1		2	1	3		2		3
к каноническому виду.
Решение. Матрица квадратичной формы имеет вид
					2		1		2
							2		2
					1		2		2	.
							2		5
					2		2		5
Составим характеристическое уравнение:
					2	1			2		0,
					2	1			2
					1	2			2
					2	2		5

или 3 9 2 15 7 0, откуда 1 2 1, 3 7.

Заданная квадратичная форма приводится к каноническому виду

f (y1, y2, y3) y12 y22 7y32 .

Задачи для самостоятельной работы

Привести квадратичную форму к каноническому виду:

1.f (x1,x2) 5x12 4x1x2 2x22 .

2.f (x1,x2) 4x12 4x1x2 x22.

3.f (x1,x2) x12 1,8x1x2 x22

4.f (x1,x2,x3) x12 x22 x32 4x1x2 4x1x3 4x2x3.

5.f (x1,x2,x3) 11x12 5x22 2x32 16x1x2 4x1x3 20x2x3.

6.f (x1,x2,x3) x1x2 x1x3 x2x3.

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

Вариант № 1

1. Вычислить определитель 4-го порядка. Найти минор M13.

1	1	2	2
0	5	7	0	.
0	2	5	3	.
0	2	5	3
1	3	4	0

2. Показать, что матрица A обратима, и найти обратную матрицу

	3		1	0
A 1			1	1
	, если A 2				.
		0	4	2

3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера.

6x 4y z 1,

5x 3y z 3,2x y z 0.

4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

4x1 3x2 x3 4x4 4,

2x x	2	x		3	x			4	1,
1
x2 x3 2x4 2,

2x 2x		2	3x			4	3.
1

5. Решить матричное уравнение A X B C, если

7	6	8	1	5	9
A		, B		, C	.
4	5	9	2	1	3

Вариант № 2

1. Вычислить определитель 4-го порядка. Найти минор M32.

3	0	1	5
1	2	1	3	.
0	0	2	7	.
0	0	2	7
1	2	3	1

2. Показать, что матрица A обратима, и найти обратную матрицу

		2		1	0
A 1	, если A		1	2
					1 .

			0	1	1

3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера.

2x 3y z 2,

3x 4y z 3,x 2y 2z 3.

4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

6x1 6x2 13,

x1 2x2 x3 4x4 5,

4x1 2x2 2x3 8x4 3,

5x1 4x2 x3 4x4 8.

5. Решить матричное уравнение A X B C, если

3	2	6	5	7	7
A		, B		, C	.
1	5	9	7	7	1

Вариант № 3

1. Вычислить определитель 4-го порядка. Найти минор M22 . 2 2 1 2

2	4	1	0
1	2	3	.
1	2	3	2
4	0	1	0

2. Показать, что матрица A обратима, и найти обратную матрицу

	2		3	0
A 1			1	4
	, если A 1				.
		3	2	5

3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера.

x y 2z 1,

5x 3y z 19,

	x 3z 10.

4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

4x1 2x2 x4 5,
2x 2x			2		3x		3	x		4	1,
	1		2				3			4
	2x 2x			2	x	3		x	4		3,
	1			2		3			4
	2x x	3		2.
	1	3

5. Решить матричное уравнение X A 2B C, если

2	7	6	1	4	5
A		, B		, C	.
3	4	5	1	2	9

Вариант № 4

1. Вычислить определитель 4-го порядка. Найти минор M14 . 1 7 1 1

2	1	3	1
0	1	1	.
0	1	1	0
1	3	6	0

2. Показать, что матрица A обратима, и найти обратную матрицу

	1		1	2
A 1			2	1
	, если A 1				.
		1	8	0

3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера.

	x y 4z 4,
	x y z 7,
	x y z 7,

x 5y z 1.

4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

x1 3x2 2x3 x4 1,

2x1 4x2 x3 2x4 4,

3x1 3x2 x3 3x4 5,x1 3x2 3x3 x4 3.

5. Решить матричное уравнение X A BT C, если

6	5	2	8	4	5
A		, B		, C	.
4	7	9	1	2	9

Вариант № 5

1. Вычислить определитель 4-го порядка. Найти минор M42 .

1 0 3 0

3 2 1 1

6 4 3 4

2 0 1 2

2. Показать, что матрица A обратима, и найти обратную матрицу

	3		1	3
A 1			2
	, если A 4			1 .
		1	2
				3

3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера.

2x y z 3,

	3x 2y 35,

x y 5z 0.

4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

3x1 2x2 3x3 4x4 1,

2x1 3x2 2x3 3x4 2,

4x1 2x2 3x3 2x4 3,

x1 2x4 2.

5. Решить матричное уравнение X A B C , если

9	4	1	5	3	1
A		, B		, C	.
8	5	2	6	4	5

Вариант № 6

1. Вычислить определитель 4-го порядка. Найти минор M31.

1	2	3	4
2	2	3	4	.
3	3	3	4	.
3	3	3	4
4	4	4	4

2. Показать, что матрица A обратима, и найти обратную матрицу

	0		1	2
A 1			0	1
	, если A 3				.
		1	2	1

3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера.

x y 2z 5,

x 8y 3z 6,

x 5y 2z 3.

4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

2x1 x2 x3 3x4 4,

x1 3x2 5x4 9,

x1 4x2 x3 x4 9,2x1 3x4 1.

5. Решить матричное уравнение A X B CT , если

6	4	6	2	10	1
A		, B		, C	.
2	3	1	5	2	1

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
07.01.2021654.4 Кб0718.pdf
#
07.01.2021654.42 Кб1719.pdf
#
07.01.2021271.64 Кб072.pdf
#
07.01.2021654.68 Кб0720.pdf
#
07.01.2021654.68 Кб0721.pdf
#
07.01.2021655 Кб0722.pdf
#
07.01.2021655.48 Кб4723.pdf
#
07.01.2021655.48 Кб3724.pdf
#
07.01.2021655.54 Кб0725.pdf
#
07.01.2021655.91 Кб8726.pdf
#
07.01.2021656.4 Кб7727.pdf