722

.............................................

am1 1 am2 2 ... amn n bm.

Рассмотрим расширенную матрицу системы A/B и выполним над ней следующие элементарные преобразования: к последнему столбцу прибавим последовательно все её столбцы, предварительно умноженные соответственно первый на 1 , второй на 2 , …, n-й на n . Получим

По теореме об элементарных преобразованиях ранг матрицы С

Достаточность. Пусть r(A/ B) r(А) r, покажем, что система совместна.

Предположим, что отличный от нуля минор порядка r расположен в левом верхнем углу матрицы A, т.е.

В этом случае первые r строк матрицы A/B линейно независимы, так как её ранг равен r, то остальные строки матрицыA/B линейно выражаются через первые r строк.

Перепишем первые r уравнений в виде

33

a11x1 a12x2 a1rxr b1 a1,r 1xr 1 a1nxn,

...........................................................................

ar1x1 ar2x2 arrxr br ar,r 1xr 1 arnxn.

Это означает, что первые r уравнений системы независимы, а остальные являются их следствиями. Решаем первые r уравнений, эти решения автоматически удовлетворят и остальные уравнения. При этом возможны два случая: r n или r n.

1.Если r n, то число уравнений равно числу неизвестных, причем определитель системы D 0, следовательно, система имеет единственное решение.

2.Если r n, то число уравнений меньше числа неизвестных.

Придавая свободным переменным xr 1,xr 2, ,xn произвольные значения r 1, r 2, , n , приходим к системе r уравнений относительно r главных неизвестных x1,x2, ,xr . Эта система имеет единственное решение, т.к. D 0.

Так как значения r 1, r 2, , n произвольны, то система будет иметь бесчисленное множество решений. Что и требовалось доказать.

Следствие. СЛАУ является совместной, если r(A/ B) r(А), при этом возможны следующие варианты:

1)r(A/ B) r(А) n, то СЛАУ совместная и определённая;

2)r(A/ B) r(А) n, то СЛАУ совместная и неопределённая. СЛАУ является несовместной, если r(A/ B) r(А).

§ 3. Решение невырожденных систем линейных алгебраических уравнений

Матричный способ решения СЛАУ

Пусть дана система из n уравнений с n неизвестными:

или в матричной форме A X B.

34

Основная матрица A данной системы является квадратной. Определитель данной матрицы имеет вид

an1 an2 ann

Пусть матрица A является невырожденной, тогда 0. Такая система линейных уравнений называется невырожденной.

Невырожденная матрица имеет обратную, тогда в матричной форме уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения A X B слева на матрицу A 1, имеем:

A 1 A X A 1 B.

Используя ассоциативный закон умножения матриц, можно записать

уравнения имеет вид X A 1 B.

Пример. Решить матричным способом систему уравнений:

Вычислим определитель данной системы:

Матрица является невырожденной, следовательно, можно найти

обратную матрицу A 1.

Вычисляем алгебраические дополнения к элементам матрицы:

35

т.е. x1 2, x2 5, x3 3.

Сделаем проверку:

7 2 2 ( 5) 3 3 13,

9 2 3 ( 5) 4 3 15,

5 2 5 3 3 14.

Найденные значения неизвестных удовлетворяют данной системе.

Формулы Крамера

или

36

первого столбца коэффициентов столбцом свободных членов. Имеем:

столбца столбцом свободных членов, называются формулами Крамера.

Пример. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:

7x1 2x2 3x3 13,9x1 3x2 4x3 15,

5x1 x2 3x3 14.

37

7 2 2 ( 5) 3 3 13,

Проверка: 9 2 3 ( 5) 4 3 15,

5 2 5 3 3 14.

Замечание. Если определитель матрицы системы 0, то СЛАУ будет совместной и определённой. При этом её решение можно найти, используя либо формулы Крамера, либо матричный способ. Однако при больших значениях n использовать данные методы нецелесообразно, поскольку имеются менее трудоёмкие способы решения, например метод Гаусса, который позволяет решать СЛАУ с произвольной матрицей системы.

§ 4. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

Далее будем рассматривать произвольную систему линейных уравнений, где число уравнений системы не равно числу неизвестных. При этом данные результаты будут применимы и для случая, когда число неизвестных совпадает с числом уравнений системы, а

38

также и в том случае, когда определитель матрицы системы равен нулю.

Пусть дана СЛАУ вида:

a11x1 a12x2 ... a1nxn b1,

a21x1 a22x2 ... a2nxn b2,

am1x1 am2x2 ... amnxn bm.

Для решения систем данного вида будем использовать метод Гаусса или метод последовательного исключения неизвестных, который заключается в следующем.

Положим, что коэффициент a11 0 (если a11 0, то следует начать с какого-либо другого отличного от нуля коэффициента).

Преобразуем систему, исключая неизвестное x1 из всех уравнений, кроме 1-го уравнения. Для этого обе части 1-го уравнения

умножим на a21 и вычтем из соответствующих частей 2-го

a11

уравнения; затем обе части 1-го уравнения умножим на a31 и вычтем

a11

из соответствующих частей 3-го уравнения и т.д. В результате получим систему, равносильную данной:

____

здесь aij, bi (i, j 2,m) − новые значения коэффициентов и свободных

членов, которые получаются после первого шага преобразований. Преобразуем полученную систему, оставляя неизменным 1-е

уравнение. Примем a22 0, исключаем неизвестное x2 из всех уравнений, кроме 1-го и 2-го уравнений. Для этого вычитаем из обеих частей 3-го и всех последующих уравнений обе части 2-го уравнения,

умноженные соответственно на числа a32 , ,am2 .

a22 a22

39

Получаем систему следующего вида:

Если в результате подобных операций мы придём к такой системе, одно из уравнений которой имеет отличный от нуля свободный член, а все коэффициенты левой части равны нулю, то исходная система будет несовместна. В случае совместности системы мы получим систему уравнений одного из двух типов:

1. Система ступенчатого вида (k n):

В случае треугольной системы из последнего уравнения находим значение xn из (n 1)-го уравнения, подставляя в него найденное значение xn , находим xn 1 и т.д. В данном случае система имеет единственное решение.

Если после элементарных преобразований получили систему ступенчатого вида, то данная система является совместной и неопределённой. Из последнего уравнения полученной системы выражаем значение xk через свободные неизвестные xk 1, ,xn . Затем подставляем значение xk в предпоследнее уравнение системы и выражаем xk 1 через xk 1, ,xn и т.д. Придавая произвольные численные значения свободным переменным xk 1, ,xn , мы получим бесчисленное множество решений системы.

40

На практике удобнее работать не с системой уравнений, а с расширенной матрицей системы, выполняя все элементарные преобразования над строчками матрицы.

Пример. Решить СЛАУ методом Гаусса:

Здесь мы последовательно произвели следующие преобразования: 1) поменяли местами 1-ю и 2-ю строки местами; 2) умножили элементы 1-й строки на (−3), (−1), (−1) и прибавили к соответствующим элементам 2-й, 3-й и 4-й строк; 3) элементы

3, (−1) и прибавили к соответствующим элементам 3-й и 4-й строк; 5) к элементам 4-й строки прибавили соответствующие элементы 3-й строки.

Записываем СЛАУ, соответствующую полученной матрице:

41

Находим из последнего уравнения x3 1, затем из 2-го уравнения

x2 3 1 3 x2 0, из 1-го уравнения x1 2 0 3 1 2 x1 1.

3 ( 1) 4 0 3 1 0,

1 2 0 3 1 2,

Делаем проверку:

1 0 1 0,

1 3 0 1 2.

Пример. Решить СЛАУ методом Гаусса:

x1 2x2 3x3 5x4 1,

Решение. Составим расширенную матрицу системы и выполним над ней элементарные преобразования:

Мы произвели следующие преобразования: 1) умножили элементы 1-й строки соответственно на (−1), (−3), (−2) и прибавили к элементам 2-й, 3-й и 4-й строк; 2) прибавили к элементам 3-й и 4-й строк соответствующие элементы 2-й строки.

По теореме Кронекера-Капелли r(A/ B) r(А) 2 n 4, следовательно, система совместна и неопределённа. Найдем решения данной системы. Последней матрице соответствует ступенчатая система вида:

x1 2x2 3x3 5x4 1,

x2 10x3 17x4 2.

Неизвестные x1 и x2 можно выразить через свободные переменные x3 и x4. Следовательно, общее решение системы:

42