722

x1 17x3 29x4 5,

x2 10x3 17x4 2.

Найдём одно из частных решений системы, для этого положим x3 1 и x4 1, тогда x1 17, x2 9.

17 2 ( 9) 3 1 5 1 1,

17 3 ( 9) 13 1 22 1 1,

Проверка:

3 17 5 ( 9) 1 2 1 5,

2 17 3 ( 9) 4 1 7 1 4.

Пример. Решить СЛАУ методом Гаусса:

5x1 x2 2x3 x4 7,2x1 x2 4x3 2x4 1,

x1 3x2 6x3 5x4 0.

Решение. Произведем элементарные преобразования над строчками расширенной матрицы системы:

1-ю и 3-ю строки; 2) умножили 1-ю строку на (−2) и (−5) и сложили со 2-й и 3-й строкой соответственно; 3) к 3-й строке прибавили 2-ю,

Последнее уравнение системы противоречиво, т.к. 0 5, следовательно, система решений не имеет.

43

§ 5. Однородные системы линейных алгебраических уравнений

Пусть дана система линейных однородных уравнений:

или в матричном виде A X 0.

Расширенная матрица системы отличается от матрицы системы

бесчисленное множество решений, т.е. чтобы однородная система уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы был меньше числа неизвестных.

Рассмотрим однородную систему n линейных уравнений с n неизвестными:

.............................................

an1x1 an2x2 ... annxn 0.

Следующая теорема даёт условия, при которых данная система также имеет ненулевые решения.

Теорема. Система n линейных однородных уравнений с n неизвестными тогда и только тогда имеет решения, отличные от нулевого, если определитель этой системы равен нулю, т.е. det A 0.

содержит столбец свободных членов, равных нулю. Следовательно, согласно формулам Крамера справедливы следующие равенства:

x1 0, x2 0, …, xn 0.

44

Если система имеет ненулевое решение, то хотя бы одно из неизвестных отлично от нуля. Положим, что x1 0. Тогда из уравнения x1 0 следует, что 0.

Достаточность. Пусть 0, тогда ранг матрицы системы меньше числа неизвестных, т.е. r(А) n. В этом случае система имеет бесчисленное множество решений, т.е. существует ненулевое решение. Что и требовалось доказать.

Свойства решений однородной системы n линейных уравнений с n неизвестными

1. Если 1, 2, , n являются решениями системы, то1, 2, , n , где − произвольное число, также решение системы. Действительно,

ai1 1 ai2 2 ain n ai1 1 ai2 2 ain n 0 0; 2. Если 1, 2, , n и 1, 2, , n какие либо два решения

системы, то 1 1, 2 2, , n n , также будет её решением.

ai1 1 1 ai2 2 2 ain n n ai1 1 ai2 2 ain n

ai1 1 ai2 2 ain n 0 0 0.

Вывод. Любая линейная комбинация решений однородной системы тоже будет решением системы.

Поставим задачу найти линейно независимые решения системы, через которые линейно выражались бы все остальные её решения.

Определение. Линейно независимая система решений e1,e2, ,en называется фундаментальной, если каждое решение системы является линейной комбинацией решений e1,e2, ,en .

Теорема (существования фундаментальных систем решений). Если ранг матрицы системы меньше числа неизвестных

(r(А) r n), то эта система обладает фундаментальными системами решений.

Доказательство. Пусть r n и минор порядка r, отличный от нуля, стоит в левом верхнем углу матрицы коэффициентов системы, т.е.

45

ar1 ar2 arr

Следовательно, неизвестные переменные xr 1, xr 2,…, xn будут свободными. Перенесем свободные неизвестные в правые части системы, получим:

a11x1 a12x2 a1rxr a1,r 1xr 1 a1nxn,

...........................................................................

ar1x1 ar2x2 arrxr ar,r 1xr 1 arnxn.

Придадим свободным неизвестным значения xr 1 1, xr 2 0,…, xn 0, тогда получим однозначно определённые значения для

решений системы:

e1 1, 2, , r ,1,0, ,0 , e2 1, 2, , r,0,1, ,0 ,

…………………………….,

ek 1, 2, , r,0,0, ,1 .

Составим матрицу из решений системы:

Строки данной матрицы линейно независимые, её ранг равен k , т.к. в матрице есть отличный от нуля минор k -го порядка, содержащий последние k столбцов.

46

Покажем теперь, что решения e1,e2, ,ek образуют фундаментальную систему решений, т.е. любые решения однородной системы линейно выражаются через e1,e2, ,ek .

Пусть e 1, 2, , r, r 1, , n − произвольное решение сис-

темы. Рассмотрим выражение e0 e r 1e1 r 2e2 nek . Тогда получим e0 1, 2, , r,0, ,0 . Поскольку e0 является линейной

комбинацией решений системы, то e0 также является решением системы. Значения всех свободных неизвестных в e0 равны нулю, то из

бинация решений системы однородных уравнений. Итак, мы нашли фундаментальную систему решений. Что и требовалось доказать.

Замечание. Для того чтобы получить фундаментальную систему решений, мы могли взять для свободных неизвестных любые значения, лишь бы соответствующий определитель k -го порядка был отличен от нуля. Таким образом, можно найти сколь угодно фундаментальных систем, каждая из которых составляет k n r решений системы. Значит, общее решение системы линейных

решениями однородной и неоднородной системами линейных уравнений.

1. Рассмотрим два частных решения системы неоднородных уравнений: e1 1, 2, , n и e2 1, 2, , n . Тогда разность будет решением системы

однородных уравнений.

Действительно, берём любое уравнение неоднородной системы, например i-е, и подставляем в него решения e1 и e2, имеем:

ai1 1 ai2 2 ain n bi, ai1 1 ai2 2 ain n bi .

Вычтем из первого уравнения второе, мы получим ai1 1 1 ai2 2 2 ain т n 0.

47

2. Если e3 1, 2, , n − произвольное решение однородной системы, то e1 e3 1 1, 2 2, , n n будет удовлетворять системе неоднородных уравнений.

Если

ai1 1 ai2 2 ain n bi, ai1 1 ai2 2 ain n 0,

то ai1 1 1 ai2 2 2 ain n n bi 0 bi .

Таким образом, все решения неоднородной системы можно получить, прибавляя к любому её решению всевозможные решения соответствующей ей однородной системы.

Пример. Методом Гаусса решить систему однородных уравнений и найти её фундаментальную систему решений:

x1 2x2 5x3 3x4 0,2x1 5x2 6x3 x4 0,

5x1 12x2 17x3 x4 0.

Решение. Составляем расширенную матрицу системы и выполним над ней элементарные преобразования, указанные в методе Гаусса.

неопределённа. Последней матрице соответствует ступенчатая система уравнений:

x1 2x2 5x3 3x4 0,x2 4x3 7x4 0.

Принимая x3 и x4 за свободные переменные, получим

x1 13x3 17x4,

x2 4x3 7x4.

Тогда решение системы будет иметь вид

X x1,x2,x3,x4 X 13x3 17x4, 4x3 7x4,x3,x4 .

Найдём фундаментальную систему решений. Для этого полагаем,

что:

48

1)x3 1, x4 0, тогда x1 13, x2 4;

2)x3 0, x4 1, тогда x1 17, x2 7.

Это даёт нам фундаментальную систему решений e1 13, 4,1,0 , e2 17,7,0,1 . Тогда общее решение будет

e 1e1 2e2 13 1 17 2, 4 1 7 2, 1, 2 ,

где 1 и 2 − произвольные числа.

49

5. Решить матричные уравнения:

6. Решить однородную систему линейных уравнений и найти её фундаментальную систему решений:

Глава 5. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

§ 1. Основные понятия

Определение. Квадратичной формой f от n неизвестных x1, x2, …, xn называется сумма, каждый член которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных.

50

невырожденной, и квадратичную форму также называют невырож-

денной.

В матрице A элементы симметричны относительно главной диагонали, т.к. aij aji. Значит, матрица A является симметричной.

Очевидно, что для любой симметричной матрицы можно составить вполне определённую квадратичную форму, имеющую элементы матрицы своими коэффициентами.

Пример. Составить матрицу квадратичной формы:

§2. Приведение квадратичной формы

кканоническому виду

Рассмотрим теорию приведения квадратичной формы к каноническому виду на примере квадратичной формы от двух переменных.

Квадратичную форму от двух переменных можно записать в виде

f (x1,x2) a11x12 2a12x1x2 a22x22 a11x1 a12x2 x1 a12x1 a22x2 x2.

51

матричном виде: f x1,x2 XТ A X .

Действительно, по правилу умножения матриц имеем:

выражаются через новые по формулам: x1 y1 y2,

x2 y1 y2.

Тогда f y1, y2 6 y1 y2 2 2 y1 y2 y1 y2 5 y1 y2 2

52