722

A каждый элемент заменяется своим алгебраическим дополнением с последующим транспонированием.

матрицы A; E − единичная матрица того же размера, что и матрица

A.

~

В j-м столбце матрицы A стоят алгебраические дополнения элементов j-й строчки матрицы A. Согласно правилу умножения матриц, элемент сij матрицы C образуется следующим образом:

доказать.

§ 2. Обратная матрица

Известно, что для каждого числа a 0 существует такое число b, что ab 1. Число b называется обратным для числа a. Если рассматривать квадратные матрицы, то в этом множестве матриц единичная матрица E будет играть роль единицы, т.е. A E E A A. Поставим вопрос о существовании обратной мат-

23

рицы, т.е. матрицы, которая в произведении с данной даёт единичную матрицу E.

~

Таким образом, матрица A 1 A является двусторонней

обратной для матрицы A. Этим мы установили, что всякая невырожденная матрица имеет обратную. Что и требовалось доказать.

Решение. 1. Находим определитель матрицы A:

24

Следовательно, матрица A имеет обратную.

2. Вычисляем алгебраические дополнения к элементам матрицы:

25

§ 3. Ранг матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу

выделить миноры 4-го, 3-го, 2-го и 1-го порядка. В качестве миноров 1-го порядка рассматривают сами элементы матрицы. Минором 2-го

4-го порядка в данном случае совпадает с определителем матрицы A. Определение. Если у матрицы A все миноры k -го порядка (k r) равны нулю, а среди миноров порядка r имеется хоть один,

отличный от нуля, то число r называется рангом матрицы A и обозначается r(A) или rang(A).

Решение. Для данной матрицы можно составить 9 миноров 1-го порядка: 1,2,1,2,4,2,1,3,1 − это элементы матрицы; 9 миноров 2-го

26

имеются не равные нулю.

Замечание. Очевидно, что ранг невырожденной матрицы равен её порядку.

При определении ранга матрицы приходится вычислять большое число определителей. Поэтому при вычислении ранга применяют элементарные преобразования матрицы.

Теорема. Ранги эквивалентных матриц равны между собой, т.е. элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

Доказательство. 1. При умножении строки матрицы на число0 любой минор матрицы окажется умноженным на (если он содержит элементы данной строки) или останется неизменным в противном случае. Это значит, что все нулевые миноры останутся равны нулю.

2. Прибавим к элементам строки матрицы соответствующие элементы другой строки, умноженные на число . Эта операция не изменит миноров эквивалентной матрицы, которые не содержат изменённую строку. Для элементов, содержащих изменённую строку, получим US(k) MS(k) Mi(k) , где MS(k) , Mi(k) − миноры матрицы A.

Отсюда следует, если все миноры k -го порядка матрицы A равны нулю, то все миноры k -го порядка эквивалентной матрицы также равны нулю, т.е. ранг не изменится. Что и требовалось доказать.

Рассмотрим ступенчатую матрицу:

27

где a11,a22, ,arr не равны нулю. Тогда один из миноров матрицы порядка r имеет вид:

0 0 arr

Матрица содержит только r ненулевых строк, всякий минор порядка k r содержит хотя бы одну нулевую строку, а потому равен нулю.

Вывод. Ранг ступенчатой матрицы равен числу её ненулевых строк.

Пример. Вычислить ранг матрицы

Решение. Выполним элементарные преобразования матрицы. Помножим элементы первой строки на (−5) и 2 и прибавим к соответствующим элементам 3-й и 4-й строк.

Имеем:

Отбрасываем строку, состоящую из нулей, получаем матрицу

Разделим элементы 3-й строки на 4, имеем:

28

Вычитая из 2-й строки матрицы, умноженной на (−7), элементы 3-й строки, умноженные на 3, получим

Количество ненулевых строчек равно 3, следовательно, r(A) 3.

Задачи для самостоятельной работы

4. Вычислить ранг матрицы:

29

Глава 4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

§ 1. Основные понятия

Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ),

содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида

а bi − свободными членами.

____

Совокупность чисел xi i, i 1,n , которые обращают все уравнения системы в тождество, называют решением СЛАУ.

Систему линейных уравнений можно представить в матричной форме:

A X B.

Матрица A называется матрицей системы и состоит из коэффициентов системы, т.е.

30

Произведение матриц A X имеет смысл, так как число столбцов в матрице A совпадает с числом строк в матрице X .

Матрица, составленная из коэффициентов системы с добавлением столбца свободных членов системы, называется расширенной матрицей системы и имеет вид

СЛАУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если решений не существует.

Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой, если она имеет бесчисленное множество решений. Каждое решение неопределённой СЛАУ называют частным решением. Совокупность всех частных решений называют общим решением.

Задача теории систем линейных уравнений состоит в разработке методов, позволяющих узнать, совместна данная система или нет, а также указать способ нахождения решения.

Две системы линейных уравнений от одних и тех же неизвестных называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение.

Эквивалентные СЛАУ получаются при элементарных преобразованиях над строками матрицы системы. Под элементарными преобразованиями СЛАУ понимают следующие операции:

1)умножение какого-либо уравнения системы на число, отличное от нуля;

2)прибавление к одному уравнению системы другое уравнение, умноженное на произвольное число;

3)перемена местами двух уравнений системы.

Очевидно, что каждому элементарному преобразованию системы соответствует аналогичное преобразование над строчками расширенной матрицы этой системы, и наоборот. Заметим, что элементарные преобразования системы обратимы, т.е. если мы перешли путём элементарных преобразований от одной системы к другой, то мы можем

31

возвратиться к первоначальной системе, выполнив опять некоторые элементарные преобразования.

Если две системы уравнений эквивалентны, то они обе или совместны, или несовместны.

СЛАУ называется однородной, если все свободные члены равны нулю:

.............................................

am1x1 am2x2 ... amnxn 0.

называют нулевым или тривиальным.

§ 2. Критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли

Пусть дана произвольная СЛАУ из m уравнений с n неизвестными:

a11x1 a12x2 ... a1nxn b1,

a21x1 a22x2 ... a2nxn b2,

am1x1 am2x2 ... amnxn bm.

Ответ на вопрос о совместности данной системы даёт теорема Кронекера-Капелли.

Теорема. Для совместности системы линейных уравнений необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы был равен рангу матрицы данной системы.

Доказательство. Необходимость. Пусть система совместна, то-

гда существуют числа x1 1, x2 2 ,…, xn n, которые обращают уравнения нашей системы в тождество, т.е.

32