Здоровцева Г.Г. Электричество [Электронный ресурс] практикум по решению задач

стицы вокруг линии магнитной индукции? Вспомните выражение для циклотронной частоты заряженной частицы.

4.Какое ограничение накладывают размеры дуантов на максимальную энергию, до которой можно ускорять нерелятивистскую частицу в данном циклотроне? Вспомните выражение для радиуса кривизны траектории заряженной частицы.

5.Дайте определение единицы измерения энергии 1 эВ. Как 1 эВ связан с единицей измерения энергии в СИ?

Задача. Протоны ускоряются в циклотроне так, что максимальный радиус кривизны их траектории R = 50 см. Найти:

а) кинетическую энергию протонов в конце ускорения, если индукция магнитного поля в циклотроне В = 1,0 Тл;

б) минимальную частоту генератора циклотрона, при которой в конце ускорения протоны будут иметь кинетическую энергию W = 20 МэВ.

Решение.

a) Запишите формулу для радиуса кривизны заряженной частицы в магнитном поле

Какое максимальное значение радиуса допустимо для протона в условии заданного примера?

Выразите из (1) предельную скорость, до которой можно ускорять протон, не опасаясь, что он попадет на стенки дуантов:

Считая частицу нерелятивистской, выразите ее предельную кинетическую энергию

и получите численный ответ Wmax = 12 МэВ.

б) Выразите частоту генератора через циклическую частоту обращения частицы в магнитном поле

81

Поясните еще раз, почему частота генератора, подающего напряжение на ускоряющий промежуток, должна равняться частоте обращения частицы в магнитном поле циклотрона.

Воспользуйтесь формулами (3) и (4), чтобы выразить энергию частицы в конце ускорения через частоту генератора циклотрона. Получите из (4)

Д.Ч.–3

Предлагается вспомнить принципиальное устройство бетатрона и связать энергию, до которой ускоряются электроны, с магнитным потоком через площадь, ограниченную стационарной орбитой.

Ответьте на вопросы:

1.Рассмотрите принципиальное устройство бетатрона. Каким образом создается электрическое поле, ускоряющее электроны? Вспомните уравнение Максвелла, связывающее вихревое электрическое поле с изменяющимся во времени магнитным потоком. В чем отличие электрического поля, создаваемого в бетатроне, от электрического поля неподвижных зарядов? Чему равна работа при перемещении заряда по замкнутой траектории в том и другом случаях?

2.Если обмотка электромагнита питается током, изменяющимся по времени по синусоидальному закону, то в течение какой доли периода направление вихревого электрического поля будет сохраняться и, следовательно, заряженная частица сможет непрерывно ускоряться? Чем определяется абсолютное значение напряженности электрического поля на заданной траектории частицы? (Правильные ответы ищите в анализе соответствующего уравнения Максвелла).

82

3.В бетатроне в течение всего времени ускорения электроны движутся по круговой орбите постоянного радиуса. Каким образом достигается существование стационарной орбиты? Как должна изменяться индукция магнитного поля, чтобы с ростом скорости электрона радиус орбиты оставался бы постоянным? Какой вид должны иметь линии магнитной индукции, чтобы при случайном отклонении электрона от плоскости стационарной орбиты сила Лоренца возвращала бы его в эту плоскость?

4.Подведите итог: какие функции выполняет в бетатроне магнитное поле и каким требованиям оно должно удовлетворять, чтобы эти функции выполнялись?

Как направлен вектор напряженности электрического поля по отношению к стационарной орбите?

Совместите контур интегрирования с равновесной орбитой электрона в бетатроне и преобразуйте (1) к виду

Найдите напряженность ускоряющего электрон вихревого элек-

Воспользуйтесь теоремой об изменении кинетической энергии и выразите приобретенную электроном энергию через работу, кото-

83

рую совершает электрическая сила, перемещая электрон в вихревом поле по стационарной орбите за п оборотов:

Переведите заданную энергию в джоули и получите численный ответ n 5 106 оборотов.

Вычислите соответствующее значение пути: L 8 106 м. Задача решена.

Д.Ч.–4

Решается задача о движении заряженной частицы в одном из простейших устройств, предназначенных для определения удельного заряда частиц.

Ответьте на вопросы:

1.Что такое удельный заряд частицы?

2.Какие способы разделения частиц по удельному заряду вам известны? На чем они основаны?

3.Запишите дифференциальное уравнение движения заряженной частицы в электрическом и магнитном полях.

4.Какие поля называются однородными? Приведите известные способы создания однородного магнитного поля, однородного электрического поля.

Задача. Пучок нерелятивистских заряженных частиц проходит, не отклоняясь, через область А (рис. 4.3), в которой созданы поперечные, взаимно перпендикулярные электрическое и магнитное поля с напряженностью Е и индукцией В соответственно. Если магнитное

Рис. 4.3

поле отключить, то след пучка на

84

экране Э смещается на х. Зная расстояния а и b, найти удельный заряд q/m частиц.

Решение. Запишите дифференциальное уравнение движения заряженной частицы в области А

Убедитесь, что при заданных направлениях векторов напряженности, индукции и скорости частиц электрическая и магнитная составляющие силы Лоренца направлены в противоположные стороны и, следовательно, при определенных значениях модулей напряженности, индукции и скорости эти составляющие могут уравновешиваться.

Перепишите (1) в проекциях на ось Ох для случая, когда пучок не отклоняется (силы не сообщают частицам ускорение)

и установите соотношение

Запишите уравнение движения той же частицы при выключенном магнитном поле в проекциях на ось Ох

С учетом начальных условий х(0) = 0 и xɺ(0) 0 найдите отклонение частицы в электрическом поле

Время, за которое частица пролетает область, где действует это поле, можно приближенно выразить как

Какое приближение принято?

Учитывая, что за пределами области А частица движется по инерции без изменения вектора скорости, запишите

Ориентируясь на чертеж (см. рис. 4.3) и используя (4), получите

85

86

Список рекомендуемой литературы

1.Иродов И.Е. Задачи по общей физике. Учебное пособие для вузов. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2012.

2.Савельев И.В. Курс общей физики в пяти книгах. Книга 2. Электричество и магнетизм. М.: Астрель АСТ, 2008.

3.Савельев И.В. Курс общей физики в 4-х томах. Том 2. Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. М.: КноРус, 2009.

87