Здоровцева Г.Г. Электричество [Электронный ресурс] практикум по решению задач

искать, суммируя заряды, расположенных на достаточно малых поверхностях, в пределах которых плотность можно считать постоянной

S0

На основании (8) такой малой поверхностью следует считать очень тонкое кольцо (рис. 1.13).

Подставляя (8) в (9), выразив предварительно r через l и x и проведя интегрирование, получите

формуле?

Задача решена.

П.Э.П.Д.–5

Предлагается найти емкость плоского конденсатора, у которого между обкладками помещены две пластины из разного диэлектрика.

Ответьте на вопросы:

1.Что называется электрической емкостью тела?

2.Как емкость связана с зарядом тела и его потенциалом?

3.Что называется емкостью конденсатора? Как связана емкость со свободным зарядом на обкладках и разностью потенциалов между обкладками (иначе, напряжением на конденсаторе)?

4.Какую роль играет диэлектрик, заполняющий пространство между обкладками? Как он влияет на емкость конденсатора и на напряженность поля между обкладками, если напряжение на конденсаторе поддерживать постоянным?

5.Как Вы представляете принципиальное устройство плоского, цилиндрического, сферического конденсаторов?

6.В каком конденсаторе можно создать однородное электрическое поле?

31

7. Примите к сведению (вспомните), что модуль вектора смещения в поле плоского конденсатора равен поверхностной плотности свободного заряда на обкладках конденсатора.

Задача. Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено последовательно двумя диэлектрическими слоями 1 и 2 с толщинами d1 и d2 и с проницаемостями 1 и 2 (рис. 1.14). Площадь каждой обкладки равна S. Найти: а) емкость конденсатора; б) плотность связанных зарядов на границе раздела диэлектрических слоев, если напряжение на конденсаторе равно U и электрическое поле направлено от слоя 1 к слою 2.

Решение.

а) Поясните связь между направлением вектора напряженности и знаками всех связанных зарядов на рис. 1.14.

Запишите определение емкости конденсатора

U

Уточните, какой заряд входит в эту

Считая поле в каждом диэлектрическом слое однородным, за-

Что означает каждое слагаемое?

Вспомните (или получите с помощью теоремы Гаусса для век-

тора электрического смещения), что модуль вектора D равен поверхностной плотности заряда на обкладках конденсатора:

Исходя из определения поверхностной плотности заряда, запи-

S

Используйте существующую связь между смещением и напряженностью в однородном изотропном диэлектрике и с учетом (3) найдите модули напряженности электрического поля в каждом слое

32

Подставьте (5) в (2) и с учетом (4) выразите напряжение на обкладках конденсатора:

Используя определение емкости (1), получите ответ

б) Представьте искомую плотность как алгебраическую сумму плотностей связанных зарядов в каждом диэлектрике на границе их раздела; выразите эти плотности через проекции соответствующих векторов поляризации:

Учитывая однородность и изотропность диэлектрика, запишите

Подставьте (7) в (6), попутно выражая напряженности по формулам (5) и заменяя диэлектрические восприимчивости æ в (7) заданными в условии задачи диэлектрическими проницаемостями ,

используя определение диэлектрической проницаемости

æ1 1 1; æ2 1 2 .

Задача решена.

П.Э.П.Д.–6

Задача напоминает, что емкостью обладает не только конденсатор, но и любая система тел. Предлагается найти взаимную емкость для простейшей системы – двух металлических шариков.

Ответьте на вопросы:

1. Что называется электрической емкостью тела? Что называется емкостью (взаимной) системы двух тел?

33

2.Какая связь между потенциалом и напряженностью в неоднородном поле?

3.Вспомните или получите с помощью теоремы Гаусса выражение для напряженности поля заряженного шара.

4.Как наличие однородной диэлектрической среды вокруг свободного заряда влияет на величину создаваемого им поля? Почему?

Если однородный изотропный диэлектрик заполняет практически все пространство, окружающее заряд, или ограничен эквипотенциальными поверхностями, то во сколько раз поле слабее поля того же заряда в вакууме?

Задача. Найти взаимную емкость системы из двух одинаковых металлических шариков радиуса а, расстояние между центрами которых b, причем b a . Система находится в однородном диэлектрике с проницаемостью .

Решение. Изобразите шарики, проведите через центры ось ОХ. Начало отсчета возьмите в центре первого. Пометьте координаты точек пересечения поверхностей шариков с осью OX.

Нанесите векторы напряженностей, создаваемых в некоторой точке на оси ОХ каждым шариком. Поясните их направления, предполагая, что шарики заряжены так, как показано на рис. 1.15.

Рис. 1.15

Запишите определение взаимной емкости двух тел

Выразите разность потенциалов между шариками

a

Поясните пределы интегрирования. Воспользуйтесь принципом суперпозиции

34

Считая, что можно пренебречь взаимным влиянием шариков, выразите напряженности формулами, которые легко получить с помощью теоремы Гаусса (на рис.1.15 пунктирными дугами помечены «следы» сферических гауссовых поверхностей, окружающих

Подставьте (4) в (2) и проведите интегрирование

П.Э.П.Д.–7

Предлагается решить задачу, реализуя два подхода:

1)как требует условие задачи через понятия собственной и взаимной энергии проводников;

2)считать носителем энергии электрическое поле и находить энергию поля, создаваемого обеими оболочками.

Ответьте на вопросы:

1.Что называется собственной энергией заряженного провод-

ника?

2.Дайте определение через работу, которую надо совершить, чтобы зарядить проводник до данной величины заряда.

Вспомните, как выражается полная энергия через емкость проводника и заряд; через потенциал и заряд.

35

3.Что называется взаимной энергией зарядов?

4.Что называется полной энергией системы зарядов?

5.Как можно вычислить полную энергию не прибегая к понятиям собственной и взаимной энергии, а рассматривая в качестве носителя энергии электрическое поле, создаваемое системой зарядов.

6.Что такое плотность энергии поля? Какой формулой она выражается?

7.Как зная напряженность электрического поля в каждой точке пространства, вычислить энергию, заключенную в определенном объеме пространства, если поле однородно? Если поле неоднородно?

8.Вспомните формулы для напряженности и потенциала поля, создаваемого заряженной сферой.

9.Вспомните (получите) формулу емкости сферы.

Задача. Система состоит из двух концентрических тонких металлических оболочек с радиусами R1 и R2 с соответствующими зарядами q1 и q2 (рис. 1.16). Найти собственную энергию W1 и W2 каждой оболочки, энергию взаимодействия W12 и полную энер-

гию W системы.

Решение.

Способ 1. Представьте полную энергию

Выразите собственную энергию оболочек, используя выражение, справедливое для проводников любой формы, а затем подставляя емкость сферы:

Выразите взаимную энергию, как работу, которую надо совершить, чтобы разместить на внешней сфере заряд q2, учитывая, что она имеет потенциал 2, создаваемый зарядом q1, находящимся на внутренней сфере:

36

Подставьте (2) и (3) в (1) и получите

Способ 2. Посчитайте ту же энергию исходя из того, что она находится в поле, создаваемом заряженными оболочками:

Раскройте смысл каждого интеграла. Учтите, что заряд q1 распределен по поверхности малой сферы и внутри нее электрического поля нет.

Выразите плотность энергии электрического поля между оболочками w1 и во внешней области w2 , учитывая, что оболочки находятся в воздухе ( = 1)

Используйте теорему Гаусса и получите выражения напряженностей поля между оболочками (Е1) и во внешней области (Е2):

Так как напряженность от радиуса, то по смыслу подынтегральных выражений в (5) элементарный объем следует брать в виде очень тонкого сферического слоя, где плотность энергии можно считать постоянной. Учитывая это, а также используя (6) и (7), приведите (5) к виду

Убедитесь в тождественности выражений (8) и (4). Задача решена.

Заметьте, что оба способа дали одинаковые результат. Однако предпочтение все же надо отдавать второму – поскольку носителем энергии, действительно, является электрическое поле.

37

П.Э.П.Д.–8

Предлагается искать работу как меру приращения энергии системы.

Ответьте на вопросы:

1.Как связна работа, совершаемая против сил электрического поля, с приращением энергии поля?

2.Как можно выразить энергию, запасенную в конденсаторе? Вспомните две трактовки взаимодействия зарядов и соответ-

ственно формулы для энергии через заряды на обкладках и емкость

ичерез напряженность поля между обкладками.

3.Какой формулой выражается емкость плоского воздушного конденсатора?

4.При каком условии поле между обкладками плоского конденсатора можно считать однородным? Как в этом случае связаны напряжение на конденсаторе и напряженность поля между обкладками?

5.Какой формулой выражается плотность энергии электрического поля?

6.Будет ли меняться напряженность поля между обкладками плоского конденсатора, если раздвигать пластины: а) при отключенном источнике питания (заряд на пластинах не меняется); б) не отключая источник постоянного напряжения? Чтобы ответить правильно, вспомните, что напряженность поля, создаваемого равномерно заряженной бескрайней плоскостью зависит только от по-

верхностной плотности заряда ( ). Рассмотрите, как будет вести себя в случаях а) и б).

Задача. Дан плоский воздушный конденсатор, площадь каждой обкладки которого равна S (рис. 1.17). Какую работу против электрических сил надо совершить, чтобы медленно увеличить расстояние между обкладками от х1 до х2, если при этом поддерживать неизменным: а) заряд конденсатора q; б) напряжение на конден-

саторе U?

Рис. 1.17

38

Решение. Подумайте, зачем оговаривается, что пластины раздвигаются медленно. Выразите работу как приращение электрической энергии, запасенной в конденсаторе

На что еще могла бы затрачиваться работа, если бы пластины раздвигались быстро («рывком»)?

Запишите два тождественных выражения для энергии конденсатора (через заряд и через напряжение):

и формулу для емкости плоского конденсатора

а) При q const удобно воспользоваться первым выражением для энергии в (2). Подставьте (2) в (1) и получите

Уясните, что в этом случае пластины раздвигаются при отключенном источнике питания.

б) При U const вычислите работу, которая совершается, если раздвигать пластины, не отключая источник постоянного напряжения. Подставьте в (1) энергию, выраженную через напряжение, и получите

Сравните результаты (5) и (4). Поясните, почему во втором случае работа отрицательна. Или иначе: почему при постоянном заряде на обкладках энергия поля между обкладками увеличивается, если обкладки раздвигать, а при постоянном напряжении увеличение расстояния между обкладками ведет к уменьшению энергии? Разберитесь, как изменяется напряженность поля и, следовательно, плотность энергии в каждом случае.

Задача решена.

39

Основные термины1

Электрический заряд Точечный заряд Удельный электрический заряд Элементарный заряд

Плотность заряда: объемная, поверхностная, линейная Электрическое поле Напряженность электрического поля Линии напряженности Поток вектора Циркуляция вектора Потенциал точки поля

Эквипотенциальная поверхность Электрический диполь Момент электрического диполя Диэлектрик Однородный диэлектрик Изотропный диэлектрик

Анизотропный диэлектрик Полярные и неполярные молекулы Поляризуемость молекулы Диэлектрическая восприимчивость Заряды сторонние (свободные) Заряды связанные

Диэлектрическая проницаемость: относительная, абсолютная Вектор электрического смещения Электрическая емкость Конденсатор Плотность энергии

1 Для иностранных студентов – заучите термины.

40