Здоровцева Г.Г. Электричество [Электронный ресурс] практикум по решению задач

2.ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

ИМАГНЕТИКАХ

П.М.П.–1

Предлагается рассчитать магнитное поле, создаваемое током, текущим по тонкому изогнутому проводнику.

Ответьте на вопросы:

1.Что понимается под магнитным полем? Чем создаются постоянные магнитные поля?

2.Что может служить индикатором магнитного поля? Как его можно обнаружить?

3.Что такое индукция магнитного поля? Вспомните определение индукции через вращающий момент, действующий на рамку с током в магнитном поле. В каких единицах измеряется индукция магнитного поля?

4.В чем суть принципа суперпозиции магнитных полей?

5.Запишите закон Био–Савара. Разберите смысл входящих в него величин. Что такое токовый элемент? Как он направлен?

Задача. Ток I = 5,0 А течет по тонкому замкнутому проводнику (рис. 2.1). Радиус изогнутой части проводника R = 120 мм, угол 2 = = 90 . Найти магнитную индукцию в точке О.

Решение. Подумайте, какое значение имеет оговорка, что проводник тонкий. Выделите на изогнутой части токовый элемент и с помощью закона Био–Савара выразите индукцию магнитного поля, возбуждаемого этим элементом в точке О:

Как направлен вектор dB ?

Убедитесь, что любой другой токовый элемент, взятый на дуге, возбуждает индукцию того же направления.

Используя принцип суперпозиции и учитывая (1), найдите модуль индукции магнитного поля, создаваемого током, текущим по всей дуге:

41

Для нахождения поля, создаваемого током, текущим по отрезку АВ (рис. 2.2), поступайте аналогично: разбейте на токовые элементы, убедитесь, что они возбуждают в точке О поля, векторы индукции, которых

Рис. 2.2 направлены одинаково, и выразите модуль результирующей индукции

Сведите подынтегральное выражение в (3) к функции одной переменной, например, r:

rsin h Rcos ;

Сделайте необходимые подстановки, возьмите интеграл, учтите, что tg45 = 1, получите

Задача решена.

Замечания.

1. С помощью закона Био–Савара принципиально можно рассчитать магнитные поля, создаваемые какой угодно системой токов, предварительно разбив заданные токи на линейные. Слож-

42

ность возникает в нахождении результирующего вектора индукции

B по элементарным векторам dB , которые определяются законом

(1). В рассмотренном примере все элементарные векторы имеют одно направление и нахождение результирующего вектора свелось

калгебраическому суммированию их проекций.

2.Заметьте сходство этого метода с методом расчета электрических полей, основанным на применении закона Кулона.

П.М.П.–2

В задаче появляются два новых момента:

1)для расчета параметров поля используется теорема о цирку-

ляции вектора B (или H );

2) определять B требуется не только в воздухе, но и в магнети-

ке.

Ответьте на вопросы:

1.Какие токи создают магнитное поле в веществе?

2.Что понимается под токами проводимости и молекулярными токами?

3.Сформулируйте теорему о циркуляции вектора магнитной индукции.

4.Что называется напряженностью магнитного поля?

5.Как связаны векторы магнитной индукции и напряженности

воднородном изотропном магнетике?

6.Сформулируйте теорему о циркуляции вектора напряженно-

сти магнитного поля:

LS

Уточните детали, необходимые для правильного применения (1):

как связаны L и dl ;

как направлен dl ;

где находится H по отношению к замкнутому контуру L;

как перемножаются векторы под интегралом;

что означает символ «○» на интеграле;

43

какая связь в (1) между L в левой части и S в правой части);

как связаны S и dS ;

каков смысл подынтегрального выражения;

какой смысл всей правой части?

7.Что называется линиями магнитной индукции поля? линиями напряженности?

Что представляют собой линии индукции и линии напряженности магнитного поля, создаваемого прямым током?

8.Что называется плотностью тока? Какова ее размерность?

Задача. По однородному прямому проводу, радиус сечения котечет постоянный ток плотности j (рис. 2.3). Найти индукцию магнитного поля в точке, положение которой относительно оси провода определяется радиу- сом-вектором r . Магнитная проницаемость всюду

= 1.

Решение. В этой задаче использовать уже известный способ определения индукции магнитного поля с помощью закона Био–Савара весьма затруднительно, так как пришлось бы весь объем толстого провода предварительно разбить на бесчисленное множество линейных токов. Поэтому рассмотрите возможность использовать теорему о циркуляции.

Разберитесь, что представляют собой линии индукции магнитного поля, создаваемого прямым проводом? От чего зависит величина модуля индукции. Для правильных ответов мысленно воспользуйтесь законом Био–Савара.

1. r R . Так как требуется определить индукцию не только в воздухе, но и в самом проводе, то воспользуйтесь теоремой о циркуляции вектора напряженности магнитного поля (1).

Линии напряженности прямого тока представляют собой окружности, лежащие в плоскости, перпендикулярной току, и с центрами, на оси, поэтому целесообразно контур интегрирования в

(1) совместить с одной из линий напряженности. Убедитесь, что выбор L1 в виде окружности, показанной на рисунке к задаче, позволяет (1) преобразовать к виду

44

где Н1 – неизвестный, но одинаковый во всех точках контура мо-

дуль напряженности.

Чему равен косинус угла между H и dl всюду вдоль контура L1? Убедитесь, что вектор напряженности, если он направлен по ка-

сательной к окружности, можно представить формулой

Пользуясь тем, что воздух – однородная и изотропная среда, в

2. r R . Для определения индукции поля внутри провода проведите замкнутый контур через те точки поля, где модуль напряженности одинаков (окружность радиуса r с центром на оси) и преобразуйте (1) к виду

Обратите внимание на правую часть – плотность тока умножена на ту площадь, которая ограничена контуром.

Из (7) выразите модуль напряженности

ются тогда, когда структура магнитного поля (форма линий магнитной индукции) позволяет выбрать такой контур интегрирова-

45

ния, для которого модуль искомого вектора B (или H ) имеет одинаковое значение в каждой точке контура, что разрешает вынести модуль за знак интеграла (1).

Заметьте, что в электростатике аналогичное ограничение существует на применение теоремы Гаусса для расчета электростатических полей.

П.М.П.–3

Предлагается найти силу, которая действует на рамку с током в неоднородном магнитном поле, а также вспомнить специфическую формулу, связывающую работу по перемещению рамки с изменением магнитного потока через площадь, ограниченную рамкой.

Ответьте на вопросы:

1. Раскройте смысл закона Ампера. Запишите выражение для

силы, действующей на токовый элемент Idl со стороны магнитно-

го поля, индукция которого в точке нахождения токового элемента

B.

2.Вспомните, какое магнитное поле создается прямым длинным проводником с током? Как выражается абсолютное значение индукции, как направлен вектор индукции по отношению к проводнику (что представляют собой линии индукции)?

3.Как выражается работа, совершаемая при перемещении рамки с током в магнитном поле через изменение магнитного потока, пронизывающего рамку?

4.Что называется элементарным магнитным потоком (элементарным потоком вектора магнитной индукции)? Как вычислить магнитный поток через поверхность конечной площади, если магнитное поле в точках поверхности неоднородно? В каких единицах измеряется магнитный поток в СИ?

Задача. Квадратная рамка с током I = 0,90 А расположена в одной плоскости с длинным прямым проводом, по которому течет ток I0 = 5,0 А. Сторона рамки а = 8,0 см. Проходящая через середины противоположных сторон ось рамки параллельна проводу и отстоит от него на расстоянии, которое в = 1,5 раза больше стороны

46

рамки. Найти: а) силу Ампера, действующую на рамку; б) механическую работу, которую надо совершить при медленном повороте рамки вокруг ее оси на 180 .

Решение. Нарисуйте рамку ABCD и прямой проводник (рис.

Как направлены токовые элементы каждой из сторон рамки? Применяя (2) последовательно к токовым элементам каждой из сторон, убедитесь, что силы действуют на каждую из сторон, как показано на рис. 2.4.

Найдите абсолютные значения сил, действующих на АВ и CD. При этом учтите, что токовые элементы и индукция поля всюду ортогональны, а все элементарные силы (2), действующие на токовые элементы определенной стороны рамки, направлены одинаково.

Интегрируя модули (2) с учетом того, что индукция (1) всюду вдоль провода AB одинакова, получите

Убедитесь, что сила (4) больше силы (3), так как сторона CD лежит ближе к проводу и магнитное поле там сильнее.

Вычислять значения сил, действующих на стороны AD и ВС, нет необходимости, так как элементарные силы, приложенные к токо-

47

вым элементам этих сторон, расположенным на одинаковых расстояниях от провода, попарно равны по модулю и противоположно направлены, поэтому и силы в целом будут компенсировать друг друга:

Вычислите силу, действующую на рамку, принимая во внимание, что нижняя сторона рамки притягивается к проводу, а верхняя отталкивается, и выразив r1 и r2 по условию задачи через а:

б) Запишите выражение для работы через приращение магнитного потока, пронизывающего поверхность, ограниченную рамкой:

Вычислите магнитный поток Ф1 в начальном положении рамки. Так как поле неоднородно, то необходимо интегрировать элементарные потоки через достаточно узкие полоски, параллельные прямому проводнику:

Учитывая, что при указанном в условии повороте рамки изме-

нится только взаимная ориентация магнитного поля ( B ) и нормали к поверхности ( n ), для Ф2 можно записать

Ф2 = –Ф1. (9) Подставляя (8) в (7) и учитывая (9), получите

48

О чем говорит знак минус в (10)?

В каком положении рамки ее потенциальная энергия в магнитном поле больше? Для правильного ответа вспомните, как связано изменение потенциальной энергии тела с работой по его перемещению.

Задача решена.

Задание. Получите самостоятельно формулу (7), вычислив работу как работу сил Ампера.

П.М.П.–4

Приводится выражение для силы, действующей на магнитный момент в магнитном поле, и предлагается с его помощью разобраться, как будет вести себя небольшой виток с током, если его помещать различным образом вблизи длинного прямого проводника с током.

Ответьте на вопросы:

1.Что называется магнитным моментом контура с током? Как задается направление вектора магнитного момента по отношению к направлению тока в контуре?

2.Примите к сведению выражение для силы, действующей на

магнитный момент p в магнитном поле:

где (p, ) – скалярный оператор, представляющий скалярное произведение вектора магнитного момента и оператора Гамильтона.

3. Вспомните, как вводится цилиндрическая система координат (z, , r) и как направлены соответствующие орты (рис. 2.5). Примите к сведению, что приведенный оператор в цилиндрической

Рис. 2.5

49

Запишите выражение для индукции магнитного поля, создаваемого прямым проводником с током. Используйте орт e для представления вектора индукции.

Задача. Небольшой виток с током находится на расстоянии r от длинного прямого проводника с током I. Магнитный момент витка равен p . Найти модуль и направление силы, действующей на ви-

ток, если вектор p : а) параллелен прямому проводнику; б) направлен по радиусу-вектору r ; в) совпадает по направлению с магнитным полем тока I в месте расположения витка.

Решение. Введите цилиндрическую систему координат, направив ось z вдоль проводника с током (рис. 2.6).

Какая особенность магнитного поля прямого тока подсказывает целесообразность введения цилиндрической си-

Рис. 2.6 стемы координат?

Запишите вектор магнитной индукции поля прямого тока, учитывая, что в каждой точке магнитного поля он направлен по касательной к линии магнитной индукции – окружности с центром на оси провода:

Для нахождения силы используйте выражение (1) с учетом (2) и (3). а) Если вектор p параллелен прямому проводнику, то проекции

вектора магнитного момента

pr 0; p 0; pz p, (4)

Сила на рамку действовать не будет.

б) Если вектор p направлен по радиусу-вектору r , то проекции вектора магнитного момента будут

50