Здоровцева Г.Г. Электричество [Электронный ресурс] практикум по решению задач

Задача решена.

П.Э.П.Д.–1

Предлагается найти силу электрического взаимодействия между нейтральными молекулами и уяснить, что сила возникает из-за взаимной поляризации молекул, что она является силой притяжения и быстро убывает с увеличение расстояния между молекулами.

Ответьте на вопросы:

1.Что понимается под диэлектриком?

2.Что понимается под поляризацией диэлектрика?

3.Какие молекулы называются полярными, какие неполярными? Каков механизм поляризации диэлектрика с полярными молекулами? Неполярными?

4.Что называется дипольным электрическим моментом? Как он направлен?

5.Вспомните формулу для напряженности поля, созданного электрическим диполем. На каких расстояниях от зарядов, образующих диполь, она справедлива?

6.Что называется поляризуемостью молекулы ?

Задача. Неполярная молекула с поляризуемостью находится на большом расстоянии r от полярной молекулы с электрическим моментом p . Найти модуль силы взаимодействия этих молекул,

21

если вектор p ориентирован вдоль прямой, проходящей через обе молекулы (рис.1.8).

Рис. 1.8

Решение. Осмыслите рис. 1.8. Слева расположен вектор дипольного момента полярной молекулы. Поясните, почему у неполярной молекулы при заданном направлении p центр тяжести отрицательных зарядов сместится влево, а положительных – вправо.

Выразите дипольный момент неполярной молекулы, появившейся у нее в результате смещения зарядов в поле, создаваемом

полярной молекулой:

p q l . (1) Представьте проекцию силы, действующей на молекулу, как алгебраическую сумму проекций сил, действующих на ее отрицательный и положительный заряды, учитывая, что по абсолютной величине заряды одинаковы (молекула нейтральна), а напряженность электрического поля зависит от расстояния каждого заряда

до полярной молекулы:

Учитывая сначала небольшое смещения зарядов, а затем используя (1), приведите (2) к виду

Вспомните формулу для напряженности поля, создаваемого ди-

Учтите, что угол между осью диполя и направлением на неполярную молекулу равен 0 .

Найдите нужную производную

22

Задача решена.

Замечание. Обратите внимание на знак минус и седьмую степень r в ответе. По сути, эти два момента объясняют, почему при достаточно высоком давлении (большая концентрация молекул, малые расстояния между ними) газ перестает вести себя как идеальный – факт, который в курсе молекулярной физики оставался без объяснения.

П.Э.П.Д.–2

Предлагается вспомнить, в чем заключается процесс поляризации диэлектрика и параметры, которыми характеризуется состояние поляризованного диэлектрика. Для расчета электрического поля в диэлектрике предлагается воспользоваться теоремой Гаусса для вектора электрического смещения.

Ответьте на вопросы:

1.Объясните, что происходит с диэлектриком, помещенным в электрическое поле?

2.Что называется диэлектрической восприимчивостью (æ)? Что

называется поляризованностью (вектором поляризации) диэлек-

трика P ? Каков смысл вектора поляризации? Разберитесь в раз-

мерностях этих величин.

3. Как связан вектор поляризации P с напряженностью элек-

трического поля E в однородном изотропном диэлектрике? Что

можно сказать о связи P и E , если диэлектрик анизотропен?

4. Какие заряды принято называть свободными или сторонними, какие – связанными? Какими зарядами создается электрическое поле в диэлектрике?

23

5. Как связана поверхностная плотность зарядов с поляризо-

ванностью диэлектрика P ?

6.Что такое вектор электрического смещения D ? Как он связан

снапряженностью E в однородном изотропном диэлектрике?

7.Как связана диэлектрическая восприимчивость æ с относи-

тельной диэлектрической проницаемостью ? Каков смысл ?

8. Сформулируйте теорему Гаусса для вектора электрического смещения. Какими зарядами определяется поток вектора электрического смещения через произвольную замкнутую поверхность?

Задача. Точечный сторонний заряд q находится в центре шара из однородного, изотропного диэлектрика

с проницаемостью (рис. 1.9). Найти по-

ляризованность P как функцию радиус – вектора r относительно центра шара, а также связанный заряд q внутри сферы, радиус которой меньше радиуса шара.

Решение. Представьте, что должно произойти с положительными и отрицательными зарядами молекул вещества диэлектрика (связанными зарядами), из которого сделан шар, если в центр шара поместить, например, положительный сторонний заряд?

Запишите уравнение, связывающее поляризованность диэлек-

Почему для определения напряженности в диэлектрике целесообразно найти сначала смещение?

S

Какой заряд определяет поток вектора смещения?

24

Учитывая, что поле центрально-симметричное, выберите гауссову поверхность S в виде сферы произвольного радиуса с центром в центре шара и получите из (3)

Представьте (4) в векторной форме

Подставьте (5) в (1) и получите окончательное выражение для вектора поляризации

Как он направлен? Как зависит его направление от знака стороннего заряда?

Для нахождения q уясните, что внутри сферы, радиус которой меньше радиуса шара, не скомпенсированным окажется только связанный заряд, распределенный с поверхностной плотностью – непосредственно у внутренней поверхности сферы:

внешнюю нормаль n к элементарной площадке dS. Поэтому из (6) следует

Вспомнив, что полный телесный угол, под которым видна сфера из центра, равен 4 , и выражая диэлектрическую восприимчивость æ через заданную диэлектрическую проницаемость , с учетом (8) и (9) преобразуйте (7) виду

q 4æq S dSr2 4æq S d æq 1q . Задача решена.

25

Замечание. Просмотрите еще раз решение и убедитесь, что

определение основной силовой характеристики электрического

поля – напряженности E в диэлектрике целесообразно начинать с

нахождения вектора электрического смещения D .

П.Э.П.Д.–3

Новое в задаче: пространство частично заполнено диэлектриком. Предлагается разобраться, как ведут себя напряженность, электрическое смещение, потенциал при переходе через поверхность раздела диэлектриков.

Ответьте на вопросы:

1.Какие заряды принято называть связанными, какие – сторонними (свободными)?

2.Как вы понимаете термины «однородный», «изотропный»? Приведите примеры. Как в однородном изотропном диэлектрике связаны между собой напряженность электрического тела и вектор

электрического смещения?

3.Сформулируйте теоремы Гаусса для векторов E и D . В чем преимущество использования теоремы Гаусса для вектора электрического смещения, если необходимо определить параметры поля в диэлектрике?

4.Что такое потенциал электрического поля? Как выбирают начало отсчета потенциала?

5.Как связан потенциал с напряженностью электрического по-

ля?

Задача. Сторонние заряды равномерно распределены с объемной плотностью 0 по шару с радиусом R из однородного изотропного диэлектрика с проницаемостью . Найти модуль напряженности и потенциал электрического поля как функцию расстояния от центра шара. Изобразить примерные графики E(r), (r), D(r).

Решение. Разбейте все пространство на две области: вне диэлектрического шара (Область 1) и внутри его (Область 2). Какие заряды будут определять напряженность поля в каждой из этих областей: сторонние, связанные?

26

Область 1. Учтите, что поле обладает центральной симметрией, используйте для определения напряженности теорему Гаусса

Выберите гауссову поверхность в виде сферы произвольного радиуса с центром в центре шара (рис. 1.10) и, учтитывая, что внутри гауссовой поверхности окажется весь заряд, распределенный по шару радиуса R, преобразуйте (1) к виду

Определите из (2) напряженность

Воспользуйтесь известной связью потенциала с напряженностью и формулой (3), чтобы выразить потенциал как функцию радиуса:

убедитесь, что постоянная в (4) равна нулю, и получите

Область 2. Определение параметров в области, занимаемой диэлектриком, удобнее начинать с нахождения вектора электрическо-

го смещения D , используя теорему Гаусса:

Вспомните, какой заряд следует учитывать в правой части (7). Выберите гауссову поверхность внутри заряженного шара в виде сферы с центром в центре шара и, учитывая в правой части сторон-

27

ний заряд, который будет заключен внутри гауссовой поверхности, пользуясь (7), получите

D4 r2 4 r3. 3

D r. (8) 3

Так как шар состоит из однородного и изотропного диэлектрика, из (8) получите выражение для напряженности электрического поля

Интегрируя (9) по радиусу, получите

Поскольку начало отсчета потенциала уже выбрано (см. (5)), то для определения постоянной в (10) следует воспользоваться другим условием, вытекающим из смысла потенциала:

Подставляя в (6) и (10) значение r R , с учетом (11) получите:

28

П.Э.П.Д.–4

Особенность задачи: для ее решения достаточно воспользоваться комплексом результатов, накопленных при рассмотрении отдельных вопросов ранее.

Ответьте на вопросы:

1.В чем суть явления поляризации диэлектрика?

2.Какие заряды называются связанными? Что такое поверхностная плотность зарядов?

3.В чем заключается принцип суперпозиции полей? Как влияет диэлектрик (его связанные заряды) на поле, создаваемое сторонними зарядами?

4.Раскройте смысл диэлектрической проницаемости .

5.Как меняется напряженность электрического поля на поверхности раздела двух диэлектриков (рассмотрите отдельно нормаль-

ные и тангенциальные составляющие вектора E ).

6. Вспомните формулы для напряженности поля, создаваемого точечным зарядом; поля, создаваемого слоем электрических зарядов с поверхностной плотностью .

Задача. Точечный заряд q находится в вакууме на расстоянии l от плоской поверхности однородного изотропного диэлектрика, заполняющего все полупространство. Проницаемость диэлектрика равна . Найти: а) поверхностную плотность связанных зарядов как функцию расстояния r от то-

чечного заряда q; б) суммарный связанный заряд на поверхности диэлектрика.

Решение. Изобразите схематически распределение зарядов у поверхности, разделяющей вакуум (1) и диэлектрик (2), считая, что точечный заряд положительный (рис. 1.12). Подумайте, какие связанные заряды у поверхности раздела

Рис. 1.12

29

окажутся не скомпенсированными, если учесть, что ниже поверхности раздела диэлектрик тянется безгранично. Изобразите векторы напряженностей полей, создаваемых слоем отрицательных связанных зарядов у поверхности раздела и точечным зарядом.

а) Используя принцип суперпозиции, запишите

Выпишите формулу для напряженности поля, создаваемого то-

и поля, создаваемого зарядами, распределенными по поверхности с плотностью –:

Воспользуйтесь условием на границе раздела двух диэлектрических сред для нормальных составляющих вектора напряженности

E1n E2n . (7) Из уравнений (4)–(7) найдите поверхностную плотность связан-

ных зарядов

Как объяснить зависимость поверхностной плотности связанных зарядов от r?

б) Так как поверхностная плотность связанных зарядов неодинакова по поверхности диэлектрика, то суммарный заряд придется

30