Здоровцева Г.Г. Электричество [Электронный ресурс] практикум по решению задач

pr p; p 0; pz 0 , (6)

Знак минус говорит о том, что сила (7), действующая на момент, будет направлена в каждой точке против направления вектора маг-

При получении результата (9) использовано отношение

e e .r

Справедливость этого равенства можно уяснить из рис. 2.7 и определения производной.

Результат (9) говорит о том, что рамка с током будет втягиваться в область более сильного поля.

Задача решена. Рис. 2.7 Заметим, что полученные результаты справедливы не только

для рамки с током, но и любого другого объекта, обладающего магнитным моментом.

П.М.П.–5

Предлагается рассмотреть процесс намагничивания вещества, пользуясь моделью молекулярных токов, а также вспомнить параметры, характеризующие состояние намагниченности.

51

Ответьте на вопросы:

1.Что такое магнетик?

2.В чем заключается процесс намагничивания? Какие механизмы намагничивания вам известны и как называются соответствующие магнетики?

3.Какой величиной характеризуется состояние намагниченности? Дайте определение вектора намагниченности.

4.Как вектор намагниченности связан с напряженностью магнитного поля? Что такое магнитная восприимчивость?

5.Что понимается под токами проводимости и под молекулярными токами?

6.Вспомните определение магнитного момента контура с током (кругового тока).

7.Как должны быть ориентированы молекулярные токи относительно вектора намагниченности?

8.Вспомните теоремы о циркуляции вектора напряженности магнитного поля и о циркуляции вектора намагниченности.

Задача. Постоянный ток I течет вдоль длинного однородного цилиндрического провода круглого сечения. Провод сделан из парамагнетика с магнитной восприимчивостью . Найти объемный и поверхностный молекулярные токи. Как эти токи направлены друг относительно друга?

Решение. Намагниченность вещества связана с напряженностью магнитного поля как

Сделайте чертеж, изобразив на нем линии напряженности и линии намагниченности для парамагнетика (рис. 2.8).

Как изменился бы рисунок, если проводник был диамагнетиком?

Изобразите для наглядности несколько витков молекулярных токов. Разберитесь, как при заданном направлении намагниченности направлен поверхностный молекулярный ток и ток в той части витка, которая находится в объеме проводника.

Используйте теорему о циркуляции вектора намагниченности, совместив контур интегриро-

52

вания с линией намагниченности, лежащей на поверхности проводника

L

При таком выборе в правой части (2) должны быть алгебраически суммированы все молекулярные токи, пронизывающие заштрихованную площадь.

Для определения напряженности воспользуйтесь теоремой о циркуляции вектора напряженности

Подставляя (4) в (1), найдите модуль намагниченности на по-

Как он направлен?

Посмотрите на рис. 2.8 и убедитесь, что поверхностный молекулярный ток имеет ту же величину что и объемный молекулярный

ток I I , но направление поверхностного тока противополож-

пов об

но объемному току. Задача решена.

П.М.П–6

Новый элемент в задаче – поведение векторов магнитной индукции и напряженности при переходе через поверхность раздела двух магнетиков.

53

Ответьте на вопросы:

1.Сформулируйте теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции, вектора напряженности магнитного поля. В чем преимущество последней при расчете параметров магнитного поля в веществе?

2.Вспомните, как ведут себя нормальные и тангенциальные составляющие векторов индукции и напряженности на поверхности раздела двух магнетиков?

3.Какова связь между векторами индукции и напряженности в однородном изотропном магнетике?

4.Что называется магнитной проницаемостью? Раскройте ее смысл для однородного изотропного магнетика. Что Вы можете сказать о магнитной проницаемости железа и других ферромагнетиков?

5.Вспомните, что называется магнитным потоком.

Задача. На железном сердечнике в виде тора со средним радиусом R = 250 мм имеется обмотка с общим числом витков N = 1000.

В сердечнике сделана поперечная прорезь шириной b = 1,99 мм (рис. 2.9). При токе I = 0,85 А через обмотку индукция магнитного поля в зазоре В = 0,75 Тл. Пренебрегая рассеянием магнитного потока на краях зазора найти магнитную проницаемость железа в этих условиях.

Решение. Запишите теорему о циркуляции

L

Вспомните, как идут линии напряженности магнитного поля в торе и как они должны идти в прорези, если рассеянием магнитного потока рекомендуется пренебречь.

Совместите контур интегрирования с линией напряженности

среднего радиуса и выразите полную циркуляцию, интегрируя

Hdl в сердечнике и в зазоре:

Так как в (2) входят составляющие напряженности, лежащие вдоль контура, т.е. нормальные к поверхности раздела среза сер-

54

дечника и воздуха в зазоре, то они различны, а соответствующие составляющие индукции поля равны

Вс = Вз = В. (3) Учитывая, что вещество сердечника и воздух в зазоре – одно-

родные и изотропные магнетики, запишите

Подставляя (4) и (5) в (2), получите

и найдите магнитную проницаемость железа

Задача решена.

Замечания.

1.Обратите внимание на порядок полученной величины . Какие еще вещества вам известны с такими же сильными магнитными свойствами?

2.На основании полученных результатов ответьте: зачем в соленоид помещают сердечник из ферромагнитного материала?

Основные термины1

Магнитное поле Магнитный момент Вектор магнитной индукции Линии магнитной индукции

Напряженность магнитного поля Токовый элемент Ток проводимости

1 Для иностранных студентов – заучите термины.

55

Молекулярный ток Плотность тока Магнетик Диамагнетик Парамагнетик Ферромагнетик Намагничение вещества

Вектор намагниченности Магнитная восприимчивость

Магнитная проницаемость (абсолютная, относительная0 Соленоид Тороид

56

3. ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

П.Э.М.П.–1

Предлагается убедиться, что в незаряженном проводнике, который движется в магнитном поле, может возникнуть разность потенциалов. Для этого надо воспользоваться моделью свободных электронов и выражением силы Лоренца.

Ответьте на вопросы:

1.В чем суть классической модели свободных электронов для металла? Как ведут себя электроны проводимости в отсутствии электрического и магнитного полей?

2.Как влияет на поведение свободных электронов появление электрического поля? Магнитного поля? Вспомните выражение силы Лоренца.

3.Прочитайте условие задачи и попробуйте ответить на следующие вопросы:

как вращение диска повлияет на распределение свободных электронов в материале диска?

где их окажется больше – в центре, на краях?

где будет выше потенциал?

как будет направлен вектор напряженности электрического поля, возникающего из-за того, что электроны при вращении будут отбрасываться к его ободу?

в какую сторону будет отклонять электроны, вращающиеся вместе с диском, магнитная составляющая силы Лоренца при указанных на чертеже направлениях угловой скорости диска и магнитной индукции?

как связана напряженность неоднородного электрического поля с разностью потенциалов?

4. Вспомните, как выражаются нормальное и тангенциальное ускорения точки.

Задача. Металлический диск радиуса а = 25 см вращают с постоянной угловой скоростью = 130 рад/с вокруг его оси (рис. 3.1). Найти разность потенциалов между центром и ободом диска,

57

Запишите дифференциальное уравнение движения электрона, испытывающего воздействие этого поля и внешнего магнитного:

Если внешнего магнитного поля нет, то электрическая составляющая силы Лоренца будет единственной силой, обеспечивающей вращение свободного электрона вместе с диском с заданной угловой скоростью.

а) В = 0. Перепишите (1) в проекции на нормаль к траектории электрона, выразив нормальное (центростремительное) ускорение через угловую скорость и радиус кривизны траектории и учитывая, что электрическая сила направлена к центру диска:

Обратите внимание, что электрическое поле неоднородно. Его напряженность возрастает с удалением от центра диска.

Используя связь между напряженностью и потенциалом, найдите разность потенциалов между центром диска и его ободом:

б) В = 5,0 мТл. Проделайте те же операции, когда есть внешнее магнитное поле указанного направления. Перепишите (1) в проекции на нормаль, учтите отрицательный знак заряда электрона, в силу чего обе составляющие силы Лоренца оказываются направленными к центру траектории электрона (центру диска):

58

Получите из (5) напряженность, попутно выразив линейную скорость электрона через угловую:

Вычислите разность потенциалов между центром диска и его ободом, обратите внимание на малость первого члена в скобках и знак окончательного ответа:

20 10 3 B 20 мB.

Знак минус говорит о том, что при наложении внешнего магнитного поля указанного направления концентрация свободных электронов окажется больше в центральной части диска и потенциал центра будет ниже потенциала обода.

Задача решена.

Замечания.

1.Если поведение электронов рассматривать во вращающейся (неинерциальной системе отсчета), то уравнения (2) и (5) можно трактовать еще проще: каждый электрон будет оставаться неподвижным на том расстоянии от оси вращения, на котором сила Лоренца будет для него уравновешиваться центробежной силой инерции.

2.На основании рассмотренной задачи попробуйте сделать некоторое обобщение и уяснить, как в однородном магнитном поле должен двигаться относительно линий индукции проводник, чтобы разность потенциалов возникала, а при каком движении она возникать не будет.

59

П.Э.М.П.–2

Новое в задаче закон электромагнитной индукции.

Ответьте на вопросы:

1.В чем заключается явление электромагнитной индукции? Чему равна ЭДС (электродвижущая сила) индукции?

2.Дайте определение магнитного потока. Как вычислить магнитный поток, если поле однородно? Неоднородно?

3.Как направлен индукционный ток? Сформулируйте правило Ленца.

4.Вспомните закон Ома для цепи, содержащей только активное сопротивление.

5.Вспомните (получите) выражение индукции магнитного поля, создаваемого током, текущим по длинному тонкому прямому проводнику. Что представляют собой линии индукции такого поля?

6.Вспомните выражение для силы Ампера, действующей на токовый элемент.

Задача. На расстоянии а и b от длинного прямого проводника с током I0 расположены два параллельных ему провода, замкнутых на одном конце сопротивлением R. По проводам без трения перемещают с постоянной скоростью v стержень-перемычку. Пренебрегая сопротивлением проводов, стержня и скользящих контактов, а также индуктивностью контура, найти: а) значение и направление индукционного тока в стержне; б) силу, необходимую для поддержания постоянства скорости.

Решение. Сделайте чертеж (рис. 3.2).Укажите контур, в котором возникает индукционный ток при перемещении стержня. Укажите направление вектора магнитной индукции поля, создаваемого током в прямом проводнике, в точках поверхности

«натянутой» на рассматриваемый контур. Убедитесь, что указанное на рисунке направление индукционного тока через стержень удовлетворяет правилу Ленца. Запишите закон Ома для замкнутого контура, содержащего перемычку:

60