Здоровцева Г.Г. Электричество [Электронный ресурс] практикум по решению задач

а затем окончательный ответ

Задача решена.

Замечание. Метод расчета напряженности, основанный на применении закона Кулона, годится для любых полей. При этом заряды, распределенные по объему, поверхности, линии предварительно надо разбить на точечные. Трудность заключается в нахождении векторной суммы напряженностей точечных зарядов. В рассмотренном примере преодолеть эту трудность позволила определенная симметрия распределения заряда.

П.Э.П.В.–3

Предлагается найти напряженность электрического поля, используя для этого теорему Гаусса.

Ответьте на вопросы:

1. Сформулируйте теорему Гаусса для потока вектора напряженности электрического поля, считая поле неоднородным. Раскройте смысл подынтегрального выражения в формуле

Уточните детали, понимание которых необходимо для правиль-

ного применения теоремы Гаусса:

что такое вектор dS , как этот вектор направлен? Насколько малой должна быть dS?

какова связь между dS и S? Какой точке поля (по отноше-

нию к dS ) принадлежит напряженность E под интегралом?

что представляет собой вся левая часть приведенного уравнения? Что означает кружок на интеграле?

11

какой заряд следует понимать под q в правой части уравнения, где он расположен по отношению к замкнутой гауссовой поверхности S?

что такое 0? Как она оказалась в этой формуле? Какова её размерность и значение в системе СИ?

2.Вспомните, что называется объемной плотностью заряда.

3.Что вы понимаете под сферически симметричным полем? Цилиндрически симметричным? Однородным полем? Приведите примеры систем зарядов, способных создавать такие поля.

Задача. Система состоит из шара радиуса R, заряженного сферически симметрично и окружающей среды, заполненной зарядом с объёмной плотностью r , где α = const, r

расстояние от центра шара (рис. 1.2). Найти заряд шара, при котором модуль напряженности электрического поля вне шара не зависит от r. Чему равна

проницаемость всюду = 1.

Решение. Разберитесь, какова особенность поля, создаваемого указанной системой зарядов? Убедитесь, мысленно помещая точечный положительный заряд («пробный заряд») в любую точку поля, что действующая на него сила будет направлена к центру шара, а ее величина будет зависеть только от расстояния до центра шара.

Запишите Теорему Гаусса, которая позволит связать искомый заряд с напряженностью поля:

Выберите гауссову поверхность S в виде сферы с центром в центре шара. При таком выборе поверхности напряженность в любой ее точке одна и та же по модулю, а вектор напряженности

направлен всюду вдоль соответствующего радиуса (сонаправлен с

вектором dS ).

12

Раскрывая скалярное произведение векторов E и dS , под интегралом, и вынося неизвестную, но всюду на поверхности S постоянную E за знак интеграла, получите левую часть уравнения

В правую часть (2) соберите весь заряд, оказавшийся внутри сферы произвольного радиуса r (внутри гауссовой поверхности).

Раскройте смысл каждого слагаемого правой части. Что означает подынтегральное выражение? Насколько малым должен быть объем, на который умножается плотность заряда? Учитывая, что плотность зависит только от радиуса, сообразите, в пределах какого геометрического тела плотность можно считать постоянной.

Перейдите от (2) к формуле

раскрыв элементарный объем как объем очень тонкого шарового слоя. Проделайте все необходимые математические операции, чтобы из (3) получить

Из (4) следует, что напряженность не будет зависеть от r, если выражение в скобках будет равно нулю. Отсюда определите искомый заряд

qш 2 R2

и значение модуля напряженности

E .

2 0

Задача решена.

Замечание. Метод определения напряженности, основанный на применении теоремы Гаусса в интегральном виде, годится только для полей, имеющих определенную симметрию (центральную, осевую, плоскостную). В этих случаях можно выбрать гауссову поверхность и ее расположение относительно заряда, создающего поле такими, чтобы модуль искомой напряженности имел бы одно

13

и то же значение в каждой точке поверхности. Тогда нахождение потока сводится к умножению модуля напряженности на площадь той простейшей поверхности, через которую поток проходит. Таким образом, прежде чем использовать теорему Гаусса, необходимо установить структуру поля, что можно сделать мысленно, помещая пробный заряд в различные точки пространства около заряда, создающего поле, и анализируя силу, действующую на пробный заряд.

П.Э.П.В.–4

Предлагается найти потенциал электрического поля, создаваемого зарядом, распределенным по плоскости ограниченного размера.

Ответьте на вопросы:

1.Что называется потенциалом электрического поля?

2.Как связан потенциал электрического поля в некоторой точке пространства с энергией точечного заряда, помещенного в данную точку?

3.Как связан потенциал с работой, которую надо совершить, чтобы удалить заряд из данной точки поля на достаточно большое расстояние, где поле уже отсутствует?

4.Вспомните формулу, которой выражается потенциал поля, создаваемого точечным зарядом.

5.Как находят потенциал в определенной точке поля, создаваемого системой точечных зарядов?

6.Запишите формулу, связывающую потенциал и напряженность электрического поля (вспомните связь между потенциальной энергией тела и силой, действующей на него в этом потенциальном поле).

7.Что такое эквипотенциальные поверхности? Под каким углом эквипотенциальные поверхности пересекаются линиями напряженности? Почему? Совершается ли работа силами поля, если заряд перемещается по эквипотенциальной поверхности? А каким

должен быть угол между силой и перемещением, чтобы работа бы-

ла равна нулю( A FdS)?

14

Заряд можно считать точечным, если площадка, на которой он находится, достаточно мала, чтобы положение всех ее точек относительно заданной точки M можно было бы выразить одним расстоянием (знаменатель в формуле (1)).

Убедитесь, что в силу симметричного расположения заряда относительно оси пластинки целесообразно под точечным понимать заряд, находящийся на заштрихованном элементе кольца, и выразить его формулой

и подставляя (1) в (3), с учетом (2) найдите потенциал, создаваемый всей заряженной пластинкой:

Используя связь между напряженностью и потенциалом, найдите проекцию вектора напряженности на ось как функцию расстояния от центра диска:

Из (4) и (5), опуская точку М в центр диска (l 0 ), получите

15

Удаляя точку М на бесконечность, получите

Введите полный заряд q R2 , чтобы последние две формулы

преобразовать к виду

Откуда следует, что для достаточно удаленных от диска точек, заряд, распределенный на нем, представляется точечным.

Задача решена.

Замечание. Сравните решенную задачу с ранее рассмотренным примером П.Э.П.В.–2. Обратите внимание, что практически использовать принцип суперпозиции для нахождения потенциала проще, чем для нахождения напряженности, так как потенциал – величина скалярная. Именно поэтому в задачах подобного типа расчет поля целесообразно начинать с определения потенциала, а потом

использовать связь между потенциалом и напряженностью, нахо-

дить E .

П.Э.П.В.–5

Предлагается рассчитать напряженность поля, создаваемого зарядами, равномерно распределенными в пространстве между двумя параллельными и очень большими пластинами. Попутно вспомнить связь между напряженностью и потенциалом в однородном поле.

Ответьте на вопросы:

1.Вспомните определения напряженности электрического поля

ипотенциала. Как связана напряженность поля с его потенциалом?

2.Какое поле называется однородным?

3.Как связана разность потенциалов между двумя эквипотенциальными поверхностями однородного электрического поля с его напряженностью, если расстояние между поверхностями d?

16

4. Вспомните теорему Гаусса для напряженности электрического поля. Какой особенностью должны обладать электрические поля, чтобы для нахождения их напряженности было бы целесообразно применять теорему Гаусса?

Задача. Между двумя большими параллельными пластинами, отстоящими друг от друга на расстояние d, находится равномерно распределенный объемный заряд (рис. 1.4). Разность потенциалов между пластинами равна . При каком значении объемной плотности заряда напряженность поля вблизи одной из пластин будет равна нулю? Какова будет при этом напряженность поля у другой пластины?

Решение. Разберитесь, какими зарядами создается поле с указанными в условии параметрами.

Исходя из определения потенциала убедитесь, что если поле создается только однородно заряженным слоем, то потенциалы плоскостей,

расположенных симметрично относительно средней (х = 0), должны быть равны. Следовательно, существует поле E1 , которое создается зарядами, расположенными вне слоя, причем эти заряды имеют разные знаки.

Придите к такому же заключению, пользуясь определением напряженности как силы, действующей на единичный положительный заряд.

Воспользуйтесь принципом суперпозиции и представьте напря-

женность E как наложение напряженности поля, создаваемого за-

Учитывая, что пластины большие, т.е. расстояние d много меньше протяженности пластин и поэтому поле между ними должно быть однородно, запишите

17

Для определения Е2 воспользуйтесь теоремой Гаусса

Убедитесь в целесообразности ее применения.

Действительно, исходя из определения напряженности как си-

лы, которую испытывает пробный заряд со стороны зарядов, со-

здающих поле, следует, что векторы напряженности E2 по разные стороны средней плоскости заряженного слоя направлены так, как показано на рис. 1.4, а их абсолютные значения зависят только от координаты х. Поэтому если в качестве замкнутой поверхности выбрать поверхность цилиндра, расположенного так, что ось цилиндра перпендикулярна пластинам (параллельна силовым линиям

поля), а торцы цилиндра равноудалены от средней плоскости слоя,

то поток вектора E2 через замкнутую поверхность сведется к двум равным по величине потокам через торцы. Через боковую поверхность цилиндра потока не будет, так как в любой точке боковой

где S – площадь торца цилиндра, 2х – высота цилиндра.

В правой части выражения (4) стоит полный заряд, заключен-

Полагая, что потенциал нижней пластины больше потенциала

верхней пластины, что соответствует указанному на рис. 1.4

направлению E1 , запишите формулу для проекции вектора напря-

женности (1) на осьOx , вычисленной в точке x d : 2

18

Определите искомую напряженность у верхней пластины, под-

Задача решена.

Замечание. Попробуйте решить эту же задачу, используя теорему Гаусса в дифференциальной форме.

П.Э.П.В.–6

Рассчитывается поле электрического диполя. Находится сначала

скалярная величина – потенциал , а затем проекции вектора

напряженности E и его модуль.

Ответьте на вопросы:

1.Какая система зарядов называется электрическим диполем?

2.Что называется моментом диполя?

3.Дайте определение потенциала, напряженности. Какая связь между ними в неоднородном поле?

4.Вспомните (получите) формулу для потенциала поля точечного заряда.

5.Примите к сведению выражение градиента в сферической системе координат:

19

Задача. Требуется показать, что потенциал поля диполя с элек-

Найти с помощью этого выражения модуль напряженности электрического поля диполя как функцию r и .

Решение. Изобразите систему двух точечных разноименных зарядов, расположенных на расстоянии l друга от друга (рис. 1.5).

Выразите потенциал в некоторой точке М как алгебраическую сумму потенциалов, создаваемых каждым зарядом:

Преобразуйте выражение (1) для

случая, когда точка поля М удалена

Рис. 1.5

от зарядов на расстояние, существенно превышающее расстояние между ними – допущение:

Если l r , то R1 R2 r .

Воспользуйтесь определениями момента электрического диполя

напряженностью электрического поля:

20