Здоровцева Г.Г. Электричество [Электронный ресурс] практикум по решению задач

Выразите ЭДС индукции через скорость изменения магнитного потока через поверхность, стягиваемую контуром:

Учитывая, что магнитное поле, создаваемое прямым проводником с током неоднородно, т.е.

S

Затем, взяв элементарную площадку в виде очень узкой полоски переменной длиной l = vt и шириной dr, найдите выражение магнитного потока в зависимости от времени:

Дифференцируя (5) по времени и подставляя результат в (1), получите выражение для тока индукции

б) Запишите условие, при котором стержень-перемычка будет двигаться с постоянной скоростью (без ускорения), при этом искомая сила должна уравновешивать силу Ампера:

Выразите силу Ампера, действующую на токовый элемент перемычки

Как она направлена? Убедитесь, что сила Ампера, действующая на любой токовый элемент перемычки, направлена противоположно вектору скорости перемычки.

Найдите модуль результирующей силы Ампера

a

61

и, подставив (6) в (9), с учетом (7) получите окончательный ответ

Задача решена.

П.Э.М.П.–3

Новое в задаче – понятие индуктивности контура. Предлагается найти формулу для индуктивности единицы длины двухпроводной линии.

Ответьте на вопросы:

1.Что называется индуктивностью контура? В каких единицах измеряется индуктивность? От каких факторов, характеризующих сам контур и среду, в которой он находится, зависит индуктивность?

2.Запишите выражение, определяющее магнитный поток через некоторую поверхность, расположенную в неоднородном магнитном поле. Как упростить это выражение, если магнитное поле однородно? Что понимается под однородным полем?

3.Вспомните, что представляет собой магнитное поле, создаваемое прямым током, равномерно распределенным по сечению проводника: а) внутри проводника; б) снаружи проводника.

Задача. Найти индуктивность единицы длины двухпроводной линии, если радиус каждого провода в раз меньше расстояния между осями (рис. 3.3). Магнитную проницаемость всюду считать равной единице. Рассмотреть случай

1.

Решение. Учтите, что по двум проводам линии токи одинаковой величины текут в противоположных направлениях, поэтому в точках поверхности, натянутой на оси проводников, магнитные индукции полей, создаваемых разными проводника-

62

Нарисуйте несколько линий индукции внутри проводников и вокруг (пунктирные линии на рис. 3.3).

Запишите определение индуктивности

Вспомните выражение магнитной индукции поля внутри про-

Что означает r в формулах (2) и (3)?

Так как каждый проводник вносит равную долю в суммарный магнитный поток через рассматриваемую поверхность, то поток в

(1) можно представить выражением

0r0

Вычислите магнитный поток, приходящийся на единицу длины двухпроводной линии

Упростите выражение (5) и, пользуясь условием 1, получите

Какой частью потока позволило пренебречь условие (6)? Задача решена.

Замечания.

1. Вспомните, какую роль играет индуктивность в цепи переменного тока. Сравните ее с омическим сопротивлением и емкостью.

63

2. Сопоставьте роль индуктивности в электрическом колебательном контуре с ролью массы (момента инерции) в механических осцилляторах.

П.Э.М.П.–4

Предлагается рассчитать энергию, содержащуюся в определенном объеме, однородного магнитного поля. Объем заполнен ферромагнетиком.

Ответьте на вопросы:

1.Что называется плотностью энергии магнитного поля? Как она выражается через индукцию и напряженность магнитного поля?

2.Как связаны векторы индукции и напряженности в данной точке однородного изотропного магнетика?

3.Вспомните теорему о циркуляции вектора напряженности магнитного поля и теорему о циркуляции вектора индукции.

4.В каких случаях целесообразно определять сначала напряженность поля, а затем уже индукцию?

5.Что вы знаете о ферромагнетизме?

6.Что называется кривой намагничивания? Нарисуйте примерно ее типичный вид.

7.Что можете сказать о магнитной проницаемости ферромагнетиков?

Задача. Железный сердечник, имеющий форму тора с круглым сечением радиуса а = 3,0 см, несет на себе обмотку из N = 1000 витков, по которым течет ток I = 1,0 А. Средний радиус тора b = 32 см (рис. 3.4). Найти магнитную энергию, запасенную в сердечнике, полагая напряженность

Рис. 3.4 поля Н одинаковой по всему сечению и равной ее значению в центре сечения.

Решение. Запишите выражение для плотности магнитной энергии

64

Применяя теорему о циркуляции вектора напряженности магнитного поля

найдите напряженность в точках сердечника, соответствующих среднему радиусу тора

Магнитную индукции в тех же точках сердечника определите по графику зависимости В = В(Н) (рис. 3.5) равной В = 1,4 Тл.

Рис. 3.5

Считая величину поля одинаковой по сечению тора, вычислите магнитную энергию, запасенную в сердечнике

WwV w a2 2 b HB 2a2b

0,5 103 1,4 3,142(3 10 2)2 0,32 2 Дж.

Задача решена.

Замечания.

1.Сопоставьте формулу (1) с выражением плотности энергии электрического поля. Это поможет запомнить обе формулы.

2.Уясните, на каком основании напряженность поля по всему сечению сердечника рекомендовано считать одинаковой.

3.Вспомните, как можно выразить магнитную энергию через индуктивность контура и ток в контуре.

65

У.М.–1

Новое в задаче ― вспомним введенное Максвеллом понятие тока смещения и формулу, выражающую плотность тока смещения.

Ответьте на вопросы:

1.Поясните термины: ток проводимости, ток смещения, полный ток.

2.Как связана плотность тока проводимости с напряженностью электрического поля в проводнике и его удельным сопротивлением? Вспомните закон Ома в дифференциальной форме.

3.Как выражается плотность тока смещения?

4.Поясните различие природы тока проводимости и тока смещения. Каким общим свойством они обладают?

5.Вспомните теорему Гаусса для вектора электрического смещения.

6.Как связаны векторы смещения и напряженности электрического поля в однородном изотропном диэлектрике?

Задача. Пространство между двумя концентрическими металлическими сферами заполнено слабо проводящей средой с удельным сопротивлением и диэлектрической проницаемостью . В момент времени t = 0 внутренней сфере сообщили некоторый заряд. Найти:

а) связь между векторами плотностей тока смещения и тока проводимости в произвольной точке среды в один и тот же момент; б) ток смещения через произвольную замкнутую поверхность, расположенную целиком в среде и охватывающую внутреннюю

сферу, если заряд этой сферы в данный момент равен q.

Решение. Запишите выражения для векторов плотности тока смещения

66

Пользуясь теоремой Гаусса для вектора электрического смещения

Вспомните определение напряженности электрического поля. Покажите направление вектора напряженности, считая, что внутренней сфере сообщен положительный заряд.

Как будет направлен вектор электрического смещения?

a) Пользуясь формулами (1) и (4), получите выражение для плотности тока смещения

Вспомните определение тока проводимости I dq и плотности

и jпр надо принять во внимание (1) и (2) и то, что при уменьшении

заряда на внутренней сфере поле между сферами будет ослабевать, т.е. производная вектора смещения по времени направлена против вектора смещения и против напряженности (рис. 3.6, а).

В результате

jсм jпр .

67

б) Ток смещения получите, интегрируя плотность тока смещения по всей произвольной замкнутой поверхности, через которую

S

Из уравнения (8) плотность тока смещения в этой задаче равна по модулю плотности тока проводимости

jсм jпр.

Плотность тока проводимости определите по закону Ома в дифференциальной форме

где – удельное сопротивление среды.

С учетом найденной напряженности (6) получите

Подставьте (11) в (9) и возьмите интеграл, вспомнив, что полный телесный угол, под которым видна замкнутая поверхность (см. рис. 3.6, б) равен 4 :

Задача решена.

У.М.–2

Предлагается найти напряженность магнитного поля между обкладками конденсатора, на который подано переменное напряжение.

68

Ответьте на вопросы:

1.Что может являться источником возникновения магнитного поля? Вспомните уравнение Максвелла, отражающее тот факт, что магнитное поле создается как движущимися зарядами, так и переменным электрическим полем.

2.Что понимается под током проводимости, током смещения? Как выражается плотность тока смещения?

3.Запишите закон Ома в дифференциальной форме. Что называется удельным сопротивлением проводника? Удельной проводимостью?

4.Как связана напряженность электрического поля в плоском конденсаторе с разностью потенциалов между обкладками, если краевыми эффектами можно пренебречь (поле считать однородным)?

5.Как связана напряженность электрического поля с вектором электрического смещения в однородном изотропном диэлектрике?

6.Вспомните, как можно представить гармоническое колебание вектором амплитуды? Как можно найти сумму двух гармонических колебаний, используя их векторы амплитуд?

Задача. Пространство между обкладками плоского конденсатора, имеющего форму круглых дисков, заполнено однородной слабо проводящей средой с удельной проводимостью и диэлектрической проницаемостью . Расстояние между обкладками d. Пренебрегая краевыми эффектами, найти напряженность магнитного поля между обкладками на расстоянии r от их оси, если на конденсатор подано переменное напряжение U = Umcos t (рис. 3.7).

Сформулируйте идею, которую оно отражает.

Поясните последовательно:

что стоит в левой части уравнения?

что представляет собой каждое слагае-

69

 каков смысл подынтегрального выражения и всей правой ча-

сти в целом?

Уясните, как соотносятся в пространстве L и S, S и dS , H и

dl , jпр , D и dS .

Запишите выражения для плотности тока проводимости

Как направлены векторы (2) и (3)?

Принимая во внимание, что конденсатор плоский и краевыми эффектами можно пренебречь, выразите напряженность электрического поля между обкладками через подаваемое на конденсатор напряжение

Учитывая, что среда между обкладками однородная и изотропная, запишите

Разберитесь, что должны представлять собой линии напряженности магнитного поля между обкладками, учитывая, что геометрия конденсатора задает осевую симметрию поля.

Выберите для (1) контур интегрирования в виде окружности с центром на прямой, соединяющей центры обкладок так, чтобы контур интегрирования совпал с одной из линий напряженности магнитного поля между обкладками (контур L на рис.3.7) , и, учитывая (2)–(5), преобразуйте (1) к виду

70