1) |
– целое? Нет. |
2) |
– целое? Нет. |
3) |
– целое! |
Замена: |
, в данном случае: |
.
Разбираемся с корнем. Из 
:
.
Тогда:
.
Оставшаяся часть подынтегрального выражения: 
.
Чему равно 
?
.
Окончательно:
Обратная замена. Если |
, то |
. |
281
8.1.11. Сложные интегралы
Данная статья завершает тему неопределенных интегралов. Предполагается, что читатель сего текста хорошо подготовлен и умеет применять основные приемы интегрирования. Людям, которые не очень уверенно разбираются в интегралах, следует обратиться к самому первому уроку – Неопределенный интеграл. Примеры решений, где можно освоить тему практически с нуля. Более опытные студенты могут ознакомиться с приемами и методами интегрирования, которые в этом курсе еще не встречались.
Какие интегралы будут рассмотрены?
Сначала мы рассмотрим интегралы с корнями, для решения которых последовательно используется замена переменной и интегрирование по частям. То есть, в одном примере комбинируются сразу два приёма. И даже больше.
Затем мы познакомимся с интересным и оригинальным методом сведения интеграла к самому себе. Данным способом решается не так уж мало интегралов.
Третьим номером программы пойдут такие интегралы от дробей, которых не было в предыдущих рахдела.
В-четвертых, будут разобраны дополнительные интегралы от тригонометрических функций. В частности, существуют методы, которые позволяют избежать трудоемкой универсальной тригонометрической подстановки.
И в заключении рассмотрим интеграл от корня, под которым находится дробь, а в числителе и знаменателе дроби – линейные функции.
Последовательная замена переменной и интегрирование по частям
Пример 1 Найти неопределенный интеграл
. Подынтегральная функция представляет собой арктангенс, под которым находится кубический корень. Первая же мысль, которая приходит в голову – избавиться бы от этого корня. Данный вопрос решается путем замены переменной, сама техника замены специфична, и она подробно рассмотрена на уроке Интегралы от иррациональных функций.
Проведем замену:
. После такой замены у нас получится вполне симпатичная вещь: 
.
Осталось выяснить, во что превратится 
. Навешиваем дифференциалы на обе части нашей замены:
.
И, само собой, раскрываем дифференциалы:
.
На чистовике решение кратко записывается примерно так:
.
Проведем замену:
.
.
В результате замены получим интеграл, который интегрируется по частям:
.
(1)Выносим (1/3) за скобки. К оставшемуся интегралу применяем прием, который рассмотрен в первых примерах урока статьи Интегрирование некоторых дробей.
(2)В подынтегральной функции почленно делим числитель на знаменатель.
(3)Используем свойство линейности неопределенного интеграла. В последнем интеграле сразу подводим функцию под знак дифференциала.
(4)Берём оставшиеся интегралы. Обратите внимание, что здесь в логарифме можно
использовать скобки, а не модуль, так как 
.
(5) Проводим обратную замену, выразив из прямой замены 
«тэ»: 
.
Как видите, в ходе решения пришлось использовать даже больше двух приемов решения, таким образом, для расправы с подобными интегралами нужны уверенные навыки интегрирования и не самый маленький опыт.
На практике, конечно же, чаще встречается квадратный корень, вот три примера для самостоятельного решения.
Пример 2 Найти неопределенный интеграл
.
Пример 3 Найти неопределенный интеграл
.
Пример 4 Найти неопределенный интеграл
.
Данные примеры однотипны, поэтому полное решение в конце статьи будет только для Примера 2, в Примерах 3-4 – одни ответы. Какую замену применять в начале решений - очевидно. Но не всегда, когда под арктангенсом, синусом, косинусом, экспонентой и др.
функциями находится корень из линейной функции, приходится применять сразу несколько методов. В ряде случаев удается «легко отделаться», то есть сразу после замены получается простой интеграл, который элементарно берётся. Самым легким из предложенных выше заданий является Пример 4, в нём после замены получается относительно несложный интеграл.
Метод сведения интеграла к самому себе
Остроумный и красивый метод. Немедленно рассмотрим классику жанра:
Пример 5 Найти неопределенный интеграл
.
Под корнем находится квадратный двучлен, и при попытке проинтегрировать данный пример чайник может мучаться часами. Такой интеграл берётся по частям и сводится к самому себе. В принципе, не сложно. Если знаешь как.
Обозначим рассматриваемый интеграл латинской буквой I и начнем решение:
.
Интегрируем по частям:
.
.
(1)Готовим подынтегральную функцию для почленного деления.
(2)Почленно делим подынтегральную функцию. Возможно, не всем понятно, распишем подробнее:
.
(3)Используем свойство линейности неопределенного интеграла.
(4)Берём последний интеграл («длинный» логарифм).
Теперь смотрим на самое начало решения:
И на концовку:
Что произошло? В результате наших манипуляций интеграл свёлся к самому себе! Приравниваем начало и конец:
Переносим I в левую часть со сменой знака:
А двойку сносим в правую часть. В результате:
Или:
Константу C, строго говоря, надо было добавить ранее, но мы приписали её в конце. Настоятельно рекомендуем прочитать в примечании, в чём тут строгость:
Примечание: Более строго заключительный этап решения выглядит так:
Таким образом:
Константу можно переобозначить через 
. Почему можно переобозначить? Потому что
всё равно принимает любые значения, и в этом смысле между константами 
и 
нет никакой разницы.
В результате:
Подобный трюк с переобозначением константы широко используется в дифференциальных уравнениях. Там будем строгими, особенно при определении частных решений. А здесь такая вольность допускается только для того, чтобы не путать вас лишними вещами и акцентировать внимание именно на самом методе интегрирования.
Пример 6 Найти неопределенный интеграл
.
Еще один типовой интеграл для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Разница с ответом предыдущего примера будет!
Если под квадратным корнем находится квадратный трехчлен, или его часть, то решение в любом случае сводится к двум разобранным Примерам 5 и 6.
Например, рассмотрим интеграл
.
Всё, что нужно сделать – это тождественными преобразованиями предварительно выделить полный квадрат:
.
Далее проводится линейная замена, которая обходится «без всяких последствий»:
, в результате чего получается интеграл 
. Нечто знакомое, правда (см. Пример 5)?
Или такой пример, с квадратным двучленом: 
Выделяем полный квадрат: 
И, после линейной замены 
, получаем интеграл 
, который также решается по уже рассмотренному алгоритму.
Рассмотрим еще два типовых примера на приём сведения интеграла к самому себе:
–интеграл от экспоненты, умноженной на синус;
–интеграл от экспоненты, умноженной на косинус.
В этих перечисленных интегралах по частям придется интегрировать уже два раза:
Пример 7 Найти неопределенный интеграл
.
Подынтегральная функция – экспонента, умноженная на синус. Дважды интегрируем по частям и сводим интеграл к самому себе:
В результате двукратного интегрирования по частям интеграл свёлся к самому себе. Приравниваем начало и концовку решения:
Переносим 
в левую часть со сменой знака и выражаем наш интеграл:
Готово. Попутно желательно причесать правую часть, т.е. вынести экспоненту за скобки, а в скобках расположить синус с косинусом в «красивом» порядке.
Теперь вернемся к началу примера, а точнее – к интегрированию по частям:
За u мы обозначили экспоненту. Возникает вопрос, именно ли экспоненту всегда нужно обозначать за u? Не обязательно. На самом деле в рассмотренном интеграле принципиально без разницы, что обозначать за u, можно было пойти другим путём:
.
Почему такое возможно? Потому что экспонента превращается сама в себя (и при дифференцировании, и при интегрировании), синус с косинусом взаимно превращаются друг в друга (опять же – и при дифференцировании, и при интегрировании).
То есть, за u можно обозначить и тригонометрическую функцию. Но, в рассмотренном примере это менее рационально, поскольку появятся дроби. При желании можете попытаться решить данный пример вторым способом, ответы обязательно должны совпасть.
Пример 8 Найти неопределенный интеграл
.
Это пример для самостоятельного решения. Перед тем как решать, подумайте, что выгоднее в данном случае обозначить за u, экспоненту или тригонометрическую функцию? Полное решение и ответ в конце урока.
Примеры были рассмотрены не самые сложные. На практике чаще встречаются интегралы, где константа есть и в показателе экспоненты и в аргументе тригонометрической функции, например:
.
Попутаться в подобном интеграле придется многим. Дело в том, что в решении велика вероятность появления дробей, и очень просто что-нибудь по невнимательности потерять. Кроме того, велика вероятность ошибки в знаках, обратите внимание, что в показателе экспоненты есть знак «минус», и это вносит дополнительную трудность.
На завершающем этапе часто получается примерно следующее:
Даже в конце решения следует быть предельно внимательным и грамотно разобраться с дробями:
287
Интегрирование сложных дробей
Продолжаем рассматривать интегралы от дробей и корней. Не все они суперсложные, просто по тем или иным причинам примеры были немного «не в тему» в других статьях.
Пример 9 Найти неопределенный интеграл
.
В знаменателе под корнем находится квадратный трехчлен плюс за пределами корня «довесок» в виде «икса». Интеграл такого вида решается с помощью стандартной замены.
Решаем:
.
Замена тут простая:
Смотрим на жизнь после замены:
(1)После подстановки приводим к общему знаменателю слагаемые под корнем.
(2)Выносим 
из-под корня.
(3)Числитель и знаменатель сокращаем на 
. Заодно под корнем мы переставили слагаемые в удобном порядке. При определенном опыте шаги (1), (2) можно пропускать, выполняя прокомментированные действия устно.
(4)Полученный интеграл, как вы помните, решается методом выделения полного квадрата. Выделяем полный квадрат.
(5)Интегрированием получаем заурядный «длинный» логарифм.
288
(6)Проводим обратную замену. Если изначально 
, то обратно: 
.
(7)Заключительное действие направлено на прическу результата: под корнем снова приводим
слагаемые к общему знаменателю и выносим из-под корня 
.
Пример 10 Найти неопределенный интеграл
.
Это пример для самостоятельного решения. Здесь к одинокому «иксу» добавлена константа, и замена почти такая же:
.
Единственное, что нужно, - это дополнительно выразить «икс» из проводимой замены:
.
Полное решение и ответ в конце урока.
Иногда в таком интеграле под корнем может находиться квадратный двучлен, это не меняет способ решения, оно будет даже еще проще. Почувствуйте разницу:
Пример 11 Найти неопределенный интеграл
.
Пример 12 Найти неопределенный интеграл
.
Краткие решения и ответы в конце урока. Следует отметить, что Пример 11 является в точности биномиальным интегралом, решение которого рассматривалось на уроке Интегралы от иррациональных функций.
Интеграл от неразложимого в знаменателе многочлена 2-ой степени в степени
Более редкий, но, тем не менее, встречающий в практических примерах вид интеграла.
Пример 13 Найти неопределенный интеграл
.
В знаменателе подынтегральной функции находится неразложимый на множители квадратный двучлен. Подчеркиваем, что неразложимость на множители является существенной особенностью. Если многочлен раскладывается на множители, то всё намного понятнее, например:
– и далее применяется стандартный метод неопределенных коэффициентов.
Вернёмся к примеру со счастливым номером 13. Этот интеграл тоже из разряда тех, с которыми можно изрядно промучиться, если не знаешь, как решать.
Решение начинается с искусственного преобразования:
Как почленно разделить числитель на знаменатель, думаю, уже все понимают. Полученный интеграл берётся по частям:
dx
Готово.
Для интеграла вида
,
где (k ≥ 2) – натуральное число, выведена рекуррентная формула понижения степени:
, где
; – это интеграл степенью ниже на 1. Убедимся в справедливости данной формулы для интеграла из Примера 13:
.
В данном случае: k = 2; a2 = 1; используем формулу:
Как видите, ответы совпадают.
Пример 14 Найти неопределенный интеграл
.
290
