Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Sbor_z_u_m (1)

.pdf
Скачиваний:
72
Добавлен:
08.02.2015
Размер:
6.56 Mб
Скачать

Мелкумян Б. В.

Математика

Сборник заданий и упражнений для текущего контроля знаний

для направлений:

гостиничное дело, лингвистика, психолого-педагогическое образование, реклама и связи с общественностью, туризм, юриспруденция

Квалификация (степень) выпускника: бакалавр

Москва – 2013 г.

1

Автор – составитель:

Мелкумян Баграт Владимирович

Математика. Сборник заданий и упражнений для текущего контроля знаний. – М.: Московский университет им. С. Ю. Витте, 2013, _367_ стр.

Научный редактор:

док. тех. наук, проф. Парфенова М. Я.

Рецензенты:

канд. тех. наук, с. н. с. Казееев И. М., Московская академия экономики и права; канд. физ.-мат. наук, доц. Сибирский В. К., Московский университет им. С. Ю. Витте

Сборник предназначен для студентов всех форм обучения гуманитарных специальностей.

Печатается по решению научно-методического совета Московского университета им. С. Ю. Витте.

©Б. В. Мелкумян, 2013

©Московский университет им. С. Ю. Витте, 2013

2

СОДЕРЖАНИЕ

 

ВВОДНАЯ ЧАСТЬ ..............................................................................................................................

4

1. Алгебра высказываний ..................................................................................................................

6

1.1. Аксиоматический метод и его понятийный аппарат...............................................................

6

1.2. Основные законы математической логики...............................................................................

9

2. Матрицы..........................................................................................................................................

17

2.1. Алгебра матриц .........................................................................................................................

17

2.2. Вычисление определителей .....................................................................................................

26

2.3. Вычисление обратной матрицы...............................................................................................

32

3. Решение системы линейных уравнений....................................................................................

38

3.1. Решение системы линейных уравнений методом подстановки ...........................................

39

3.2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы........

42

3.3. Решение системы по правилу Крамера...................................................................................

44

3.4. Решение системы с помощью обратной матрицы .................................................................

48

3.5. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса (последовательного исключения

неизвестных).....................................................................................................................................

51

3.6. Несовместные системы. Системы с общим решением. Частные решения .........................

62

4. Комплексные числа.......................................................................................................................

73

4.1. Понятие комплексного числа ..................................................................................................

73

4.2. Алгебраическая форма комплексного числа. Алгебра комплексных чисел .......................

76

5. Математические формулы и графики.......................................................................................

92

5.1. Математические формулы .......................................................................................................

92

5.2. Графики и основные свойства элементарных функций........................................................

95

6. Пределы функций ........................................................................................................................

117

6.1. Основные методы вычисления пределов ........................................................................

117

6.2. Замечательные пределы. ........................................................................................................

126

7. Производные функций................................................................................................................

135

7.1. Производные функций одной переменной. .....................................................................

135

7.2. Простейшие типовые задачи с производной. Примеры решений......................................

168

7.3. Частные производные. Примеры решений...........................................................................

178

7.4. Приближенные вычисления с помощью дифференциала ..................................................

185

7.5. Частные производные функции трёх переменных ..............................................................

196

8. Интегралы .....................................................................................................................................

209

8.1. Неопределенный интеграл. Подробные примеры решений ...............................................

209

8.2. Определенный интеграл. Примеры решений.......................................................................

302

8.3. Несобственные интегралы. Примеры решений ...................................................................

331

8.4. Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов .................

344

Приложение 1. Числа.....................................................................................................................

359

Приложение 2. Упражнения по элементам финансовой математики ......................................

361

Приложение 3. План изучения курса .......................................................................................

365

ЛИТЕРАТУРА..................................................................................................................................

367

Основной список............................................................................................................................

367

Дополнительный список ...............................................................................................................

367

3

Об авторе-составителе

Мелкумян Баграт Владимирович – кандидат физико-математических наук, доцент.

Читает лекции и проводит семинарские занятия в Московском университете им. С. Ю. Витте по различным разделам дисциплины «Математика» на факультетах экономики и финансов, управления и юридическом. Преподает дисциплины «Базы данных», «Проектирование информационных систем», «Разработка и стандартизация программных средств и информационных технологий» и «Физика» на факультете управления для специальности «Прикладная информатика в экономике» различных форм обучения. Область научных интересов связана с разработкой лазерных устройств и использованием методов математической физики в системах управления.

ВВОДНАЯ ЧАСТЬ

Предлагаемый учебник не отвечает на вопрос: ЗАЧЕМ НУЖНА ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА? Действительно, большинству из вас она никогда не потребуется. Это факт. Но изучение высшей математики предусмотрено учебными планами практически всех ВУЗов, и появляются задания, контрольные работы, которые необходимо сдавать. Тоже факт. Предлагаемое учебное пособие отвечает на вопрос: КАК ЭТО РЕШАТЬ?

Упражнения носят сугубо практическую направленность, и при изучении той или иной темы мы даже не всегда дадим строгие математические определения.

Так ЗАЧЕМ ЖЕ НУЖНА ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА? Изучение высшей математики очень хорошо развивает интеллект, как «фитнес для ума». Если Вы освоили высшую математику, то сможете разобраться в любом предмете, в любой профессиональной деятельности. А может, и станете олигархом, или председателем кабинета министров, как Сергей Юльевич Витте, который имел математическое высшее образование.

Что самое трудное в математике?

Самым трудным при решении математических задач бывает правильно сформулировать вопрос. Правильно поставленный вопрос - это больше чем половина решения, часто это единственное, для чего требуется находчивость, тогда как для получения ответа требуются лишь общеизвестные способы вычисления, которыми тоже должен владеть студент. Кроме изобретения способов вычисления, математики заменили длинные описания определений короткими формулами.

Что такое абстракция?

Конкретные вещи мы видим, осязаем. Абстрактные понятия (например, свобода) требуют соответствующего определения. Нужно знать и понимать определения математических абстрактных понятий.

Попробуем разобраться, что же такое абстракция в математике. Например, само вычисление есть уже определенный вид абстракции, обычный для мышления примитивных людей, хотя они не отдают себе в этом отчета. Пастух, пересчитывающий стадо, заботится только о том, сколько овец в наличии. Ему безразлично, каковы овцы - молодые или старые, белые или черные, действует принцип «штука, как штука».

Именно в этом существо абстракции: обращаем внимание только на некоторые особенности наблюдаемых предметов, отвлекаясь (абстрагируясь) от остальных. Математика безучастна к особенным свойствам предметов и изучает только их пространственные формы (геометрия) и количественные соотношения (анализ), т.е. то, что неизменно в самых различных областях. При изучении математических объектов обнаруживается родство между явлениями, на первый взгляд, совершенно различными.

4

В соответствии с ГОС, предшествующий уровень образования абитуриента должен быть не ниже (полного) среднего общего образования.

Абитуриент должен иметь документ государственного образца о среднем (полном) общем образовании, или среднем профессиональном образовании, или начальном профессиональном образовании, если в нем есть запись о получении предъявителем среднего (полного) общего образования, или высшего профессионального образования.

Курс содержит множество новых для студента объектов и понятий. Установление логических взаимосвязей между ними вызывает у студентов экономических и юридических специальностей определенные затруднения и проходит не в полной мере. Поэтому в этом курсе выбран классический порядок изложения: от разделов о простых объектах – к составным, и

от общих разделов - к частным понятиям.

Наиболее приемлемыми формами для эффективного освоения курса «Математика» признаны основные лекционные и семинарские занятия. Они предусматривают последующее самостоятельное изучение студентом основной и дополнительной литературы, а также различные формы занятий в кружках, проводимых профессорско-преподавательским составом,

для изучения дополнительных возможностей и практических приложений курса.

Методика изучения курса «Математика» предусматривает в дальнейшем проведение лекционных и семинарских занятий, в том числе в программных средах MathCAD, MS Excel, VBA и др., компьютерных рубежных тестирований на знание основных понятий, контрольных работ и сдачу зачётов и экзаменов.

Вопросы и задания для самостоятельной работы определяются перечнями контрольных вопросов к экзаменам по разделам курса.

5

1. Алгебра высказываний

1.1. Аксиоматический метод и его понятийный аппарат

Основные понятия. Определение. Аксиома. Аксиоматический метод. Теорема. Доказательство. Основные методы доказательств

Определение.

В любой науке, в математике тоже, существуют некоторые понятия, которые мы принимаем за исходные, или начальные понятия. Это так называемые основные понятия, определить которые достаточно сложно (именно потому, что они основные) и содержание которых можно выяснить только из опыта. Таковы, например, понятия: точки в геометрии, прямой в планиметрии, плоскости в стереометрии, материи в физике, информации в информатике.

Все остальные понятия мы объясняем, выражая их через начальные понятия. Такие объяснения называются определениями. Таким образом, каждое математическое определение опирается либо непосредственно на начальные понятия, либо на понятия, определённые прежде.

Однако здесь невозможно обеспечить всеобщего согласия. Дело в том, что одно и то же, например, геометрическое понятие можно определять различно. Диаметр окружности, например, можно определить как хорду, проходящую через центр, или как хорду наибольшей длины. Приняв за определение одно из этих свойств, можно доказать другое. Отметим, что обычно за определение берут простейшее свойство.

Аксиома. Аксиоматический метод.

При построении любой теории выделяется некоторый набор высказываний, истинность которых постулируется. Такие принимаемые без доказательства высказывания, называются аксиомами. В физике аксиомы называют постулатами, которые являются обобщением опытных данных.

Аксиомы также возникли из опыта, и опыт же проверяет истинность аксиом в их совокупности.

Аксиоматический метод – это способ построения научной (математической) теории, основу которого составляют некоторые исходные положения (аксиомы), а все остальные положения теории получаются как логические следствия аксиом.

Доказательство. Теорема.

Последовательность высказываний рассматриваемой теории, каждое из которых либо является аксиомой, либо выводится из одного или более предыдущих высказываний этой последовательности по логическим правилам вывода, называется доказательством.

Высказывание, которое можно доказать, называется теоремой. Как было указано выше, опыт проверяет истинность аксиом в их совокупности. Проверка состоит в том, что все теоремы математики оказываются согласными с опытом. Этого не случилось бы, если бы система аксиом была ложной.

Каждая теорема может быть выражена в формализованной математической форме вида:

x A(x) B(x), x M

(читается: «для любого элемента х из А(х) следует В(х), где х принадлежит множеству М»).

Посылка А называется условием теоремы, а следствие В – заключением. Теорема верна, если выражающая её логическая связка, в данном случае это импликация A B (читается: «из А следует В», или «если А, то В»), обеспечивает истинное высказывание.

6

Рассмотрим примеры:

Теорема 1. Если сумма цифр натурального числа делится на 3, то и само число делится

на 3.

Теорема 2. Если четырёхугольник является прямоугольником, то его диагонали конгруэнтны.

Теорема 3. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Из-за краткости формулировки теоремы 3 о диагоналях ромба может показаться, что эта

теорема не имеет формы A(x) B(x). На самом деле это не так. Полная формулировка этой теоремы такова (напомним, что ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны): «Для любого параллелограмма верно утверждение: если параллелограмм – ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны».

Особенность аксиоматического метода.

Ни одно математическое высказывание (или свойство), взятое в отдельности, не является аксиомой, так как его всегда можно доказать на основании других высказываний (свойств). Например, в геометрии обычно принимается за аксиому следующее свойство параллельных прямых линий: «Через одну и ту же точку нельзя провести две различные прямые, параллельные одной и той же прямой» (аксиома параллельности). На основании этой аксиомы (и ряда других) доказывается такое свойство треугольника, как: «Сумма углов треугольника равна 180о». Между тем, можно было бы это свойство принять за аксиому вместо аксиомы параллельности (оставив остальные аксиомы прежними). Тогда свойство параллельности прямых линий можно доказать, и оно станет теоремой.

Таким образом, систему аксиом можно выбирать различными способами. Нужно только, чтобы взятых аксиом было достаточно для вывода всех прочих высказываний.

Отметим, что при построении доказательств число аксиом стремятся, по возможности, уменьшить.

Основные методы доказательств.

Метод цепочек импликаций состоит в том, что из посылки А выстраивается цепочка из n импликаций, последним высказыванием в которой является заключение теоремы В, т.е.

AAA A B

1 2 n1 .

В основе этого метода лежит закон цепного высказывания, или закон силлогизма:

(AB)(BC) (AC)

.

Символ означает логический союз «и», а выражение A B читается, как «А и В».

Метод от противного.

Этот метод основан на законе контрапозиций, который имеет вид:

(A B) (¬B ¬A) .

Символ ( ) соответствует логическому союзу «не»,

выражение A читается, как: «не А», или «не верно, что А».

Символ ( ) соответствует любому из трёх логических высказываний:

1)«необходимо и достаточно»,

2)«тогда и только тогда»

7

3) «эквивалентно»

Метод необходимого и достаточного.

Например, теорема формулируется так: «Чтобы имело место А, необходимо и достаточно выполнение В».

Доказательство такого вида теоремы распадается на две части: сначала доказывается, что если имеет место А, то справедливо В (В необходимо для А), затем доказывается, что если имеет место В, то имеет место и А (В достаточно для А).

Доказательство таким методом базируется на законе тавтологии:

(P Q) ((P Q) (Q P)) .

Упражнения для самостоятельного анализа к Разделу 1:

Упражнение 1.

Установите правильное соответствие между математическим утверждением и его

формулировкой.

 

1.

«В любой треугольник можно вписать окружность».

А. Определение

2.

«Если все стороны многоугольника касаются окружности, то

 

окружность называется вписанной в многоугольник».

B. Аксиома

3.

«Через любые три точки, не лежащие на одной прямой,

 

проходит плоскость, и притом только одна».

C. Теорема

Упражнение 2.

Выберите правильный ответ. К неопределяемым понятиям аксиоматического построения геометрии на плоскости относятся …

1)

фигура, плоскость, луч

2)

луч, треугольник, плоскость

3)

точка, прямая, плоскость

4)

точка, отрезок, плоскость

Упражнение 3.

Среди предложенных математических утверждений евклидовой геометрии аксиомой является…

1)Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

2)Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

3)Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

4)Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Упражнение 4.

Установите правильное соответствие между математическим утверждением и его

формулировкой.

 

1.

«Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны

А. Определение

параллельны, а две другие – не параллельны».

 

2.

«На каждой прямой и в каждой плоскости имеются, по крайней

B. Аксиома

мере, две точки».

 

3.

«Если два угла одного треугольника соответственно равны двум

C. Теорема

углам другого треугольника, то такие треугольники подобны».

 

8

Упражнение 5.

Среди предложенных математических утверждений аксиомой является…

1)Через любые две точки плоскости можно провести прямую, и притом только одну.

2)В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

3)Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

4)Вертикальные углы равны.

1.2.Основные законы математической логики.

Высказывание. Простые высказывания. Составные высказывания.

Операции отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, эквивалентности, импликации. Порядок старшинства операций. Основные законы математической логики. Парадоксы логики, или семантические парадоксы

Что есть высказывание

Под высказыванием понимают всякое утверждение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно.

Например, « 5 3 2» или «В неделе семь дней» - истинные высказывания, а « 5 8 » или «В современном русском языке 35 букв» - ложные высказывания.

Высказывания могут быть образованы с помощью слов или символов. Синонимами слова «высказывание» считаются «логическое высказывание», «булевское выражение», «суждение» и «утверждение». Однако далеко не каждый набор слов или символов, даже, на первый взгляд, осмысленный, является математическим «высказыванием». Например, фразы:

«Ура, у нас математика!» или «Который час?» или выражение « x 0 » высказываниями не являются, т.к. судить об их истинности или ложности невозможно.

Таким образом, каждое математическое высказывание или истинно, или ложно; одновременно быть и истинным и ложным высказывание не может.

Если высказывание истинное, то ему предписывается значение «истина» (другие обозначения: «1», «ДА», «И», «+», «true»). Ложному высказыванию предписывается значение

«ложь» (другие обозначения: «0», «НЕТ», «Л», «-», «false»).

Для обозначения высказываний обычно используют заглавные буквы латинского

алфавита A, B, C и т.д.

 

Например, пишут

 

A {6 7}

B{число6простое}

,

.

Это означает, что высказывание В заключается в утверждении, что число 6 – простое, а

высказывание А – в том, что 6 7 .

Знак заменяет слова «есть высказывание», или

«тождественно равно».

 

Простые и составные высказывания

Есть два вида высказываний: 1) простые и 2) составные, или сложные.

Под простым высказыванием будем понимать такое высказывание, которое не может быть разбито на более простые высказывания. Высказывания А и В предыдущего примера – простые высказывания.

Про простое высказывание всегда однозначно можно сказать, что оно истинно или ложно, не интересуясь его структурой.

Из простых высказываний при помощи так называемых логических связок или логических операций, например, союзов «и», «или», слов «если…, то…», «тогда и только тогда, когда…», можно строить сложные высказывания.

9

Например, из высказываний A {6 7}; B число 6 - простое , используя логические операции, можно образовать следующие сложные высказывания:

C 6 7 или число 6 - простое ,

D6 7 и число 6 простое ,

E6 7 _ тогда_ и _ только _ тогда, _ когда число 6 простое

Fесли _ 6 7; _ тогда_ число 6 - простое .

Отметим, что сложные высказывания можно образовывать и из таких высказываний, которые не связаны между собой по смыслу. Например, высказывание:

G {если слон – насекомое, то Антарктида покрыта тропическими лесами}

составлено при помощи логической операции «если…, то…» из двух высказываний, между которыми нет никакой смысловой связи.

Сложные высказывания, как и простые, всегда или только истинны, или только ложны. Истинность или ложность сложного высказывания полностью определяется, во-первых, тем, какие логические связки (операции) использованы для образования сложного высказывания. Во-вторых, истинность или ложность сложного высказывания определяется тем, какие из простых высказываний, образующих сложное высказывание, истинны, а какие – ложны.

Логические операции

Операции над высказываниями – логические операции – обычно задают в виде таблиц,

называемых таблицами истинности.

Операция отрицания, или отрицание высказывания

Для каждого высказывания А может быть сформировано новое высказывание «не А», или «не верно, что А») – это отрицание высказывания А. Высказывание когда А – ложно, и ложно, когда А – истинно.

Таблица истинности для операции отрицания:

А

A

1

0

0

1

Операция отрицания одноместная, или унарная, операция. Последующие операции – двухместные, или бинарные.

Например, если A {3 5 8}- истинное высказывание, то

A {3 5 8}

- ложное высказывание (отрицание А).

A (читаетсяA истинно,

10

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]