Sbor_z_u_m (1)

Это два несложных примера для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Но вы не расстраивайтесь из-за второго закона термодинамики, сейчас я всех приободрю более сложными примерами:

Пример 8 Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных

.

Решение: Найдем частные производные первого порядка:

(1) Начиная находить производную, следует придерживаться того же подхода, что и для функции одной переменной. Используем свойства линейности, в данном случае выносим за

знак производной константы .

(2) Под знаком производной у нас находится произведение двух функций, каждая из которых зависит от нашей «живой» переменной «икс». Поэтому необходимо использовать правило

дифференцирования произведения .

(3) С производной сложностей никаких, а вот производная является производной сложной функции: сначала необходимо найти, по сути, табличный логарифм

и домножить его на производную от вложения.

(4) Думаю, все уже освоились с простейшими примерами вроде . Тут у нас

«живой» только , производная которого 2x.

Практически зеркален случай с производной по «игрек», его я запишу короче и без комментариев:

202

Интереснее с производной по «зет», хотя, всё почти что то же самое:

(1)Выносим константы за знак производной.

(2)Здесь опять произведение двух функций, каждая из которых зависит от «живой» переменной «зет». В принципе, можно использовать формулу производной частного, но проще пойти другим путём – найти производную от произведения.

(3)Производная – это табличная производная. Во втором слагаемом – уже знакомая производная сложной функции.

Готово.

Пример 9 Найти частные производные первого порядка функции трёх переменных

.

Это пример для самостоятельного решения. Подумайте, как рациональнее находить ту или иную частную производную. Полное решение и ответ в конце урока.

Перед тем как перейти к заключительным примерам урока и рассмотреть частные производные второго порядка функции трёх переменных, еще раз взбодрю всех четвертым вопросом викторины:

Возможно ли путешествие в будущее?

Верный ответ: Наукой это не запрещено. Парадоксально, но не существует математического, физического, химического или другого естественнонаучного закона, который бы запрещал путешествие в будущее! Кажется чушью? Но практически у каждого в жизни бывало предчувствие (причём, не подкрепленное никакими логическими доводами), что произойдет то или иное событие. И оно происходило! Откуда пришла информация? Из будущего? Таким образом, фантастические фильмы о путешествии в будущее, да и, к слову, предсказания всевозможных гадалок, экстрасенсов нельзя назвать таким уж бредом. По крайне мере, наука этого не опровергла. Всё возможно! Так, когда я учился в школе, то компакт диски и плоские мониторы из фильмов казались невероятной фантастикой.

Известная комедия «Иван Васильевич меняет профессию» – выдумка наполовину (как максимум). Никакой научный закон не запрещал Ивану Грозному оказаться в будущем, но невозможно, чтобы два перца оказались в прошлом и исполняли обязанности царя.

Частные производные второго порядка функции трёх переменных

203

Общий принцип нахождения частных производных порядка второго порядка функции трёх переменных аналогичен принципу нахождения частных производных 2-го порядка функции двух переменных.

Для того чтобы найти частные производные второго порядка, необходимо сначала найти частные производные первого порядка или, в другой записи:

.

Частных производных второго порядка девять штук.

Первая группа – это вторые производные по тем же переменным:

или – вторая производная по «икс»;

или – вторая производная по «игрек»;

или – вторая производная по «зет».

Вторая группа – это смешанные частные производные 2-го порядка, их шесть:

или – смешанная производная «по икс игрек»;

или – смешанная производная «по игрек икс»;

или – смешанная производная «по икс зет»;

или – смешанная производная «по зет икс»;

или – смешанная производная «по игрек зет»;

или – смешанная производная «по зет игрек».

Как и для случая функции двух переменных, при решении задач можно ориентироваться на следующие равенства смешанных производных второго порядка:

.

Примечание: строго говоря, это не всегда так. Для равенства смешанных производных необходимо выполнение требования их непрерывности.

На всякий случай несколько примеров, как правильно читать сиё безобразие вслух: – «у два штриха дважды по игрек»;

– «дэ два у по дэ зет квадрат»;

– «у два штриха по икс по зет»;

204

– «дэ два у по дэ зет по дэ игрек».

Пример 10 Найти все частные производные первого и второго порядка для функции трёх переменных:

.

Решение: Сначала найдем частные производные первого порядка:

Частные производные второго порядка рекомендую начинать искать со смешанных производных, поскольку это позволит выяснить, а правильно ли вообще найдены производные первого порядка.

Берём найденную производную

и дифференцируем её по «игрек»:

Берём найденную производную

и дифференцируем её по «икс»:

Равенство выполнено. Хорошо.

Разбираемся со второй парой смешанных производных. Берём найденную производную

и дифференцируем её по «зет»:

Берём найденную производную

и дифференцируем её по «икс»:

205

«сесть в лужу» на методе замены или методе интегрирования по частям – то это будет очень и очень скверно.

Итак, начинаем с простого. Посмотрим на таблицу интегралов. Как и в производных, мы замечаем несколько правил интегрирования и таблицу интегралов от некоторых элементарных функций. Любой табличный интеграл (да и вообще любой неопределенный интеграл) имеет вид:

Сразу разбираемся в обозначениях и терминах:

– значок интеграла.

– подынтегральная функция (пишется с буквой «ы»).

– значок дифференциала. Что это такое, мы рассмотрим совсем скоро. Главное, что при записи интеграла и в ходе решения важно не терять данный значок. Заметный недочет будет.

– подынтегральное выражение или «начинка» интеграла.

– первообразная функция.

– множество первообразных функций. Не нужно сильно загружаться терминами, здесь самое важное, что в любом неопределенном интеграле к ответу приплюсовывается

константа .

Решить неопределенный интеграл – это значит найти множество первообразных функций

от данной подынтегральной функции , пользуясь некоторыми правилами,

приемами и таблицей.

Еще раз посмотрим на запись:

неопределенную (с точностью до константы) функцию , пользуясь некоторыми правилами, приемами и таблицей.

Возьмем, например, табличный интеграл . Что произошло? Символическая запись превратилась в множество первообразных функций .

Как и в случае с производными, для того, чтобы научиться находить интегралы, не обязательно быть в курсе, что такое интеграл, или первообразная функция с теоретической точки зрения. Достаточно просто осуществлять превращения по некоторым формальным правилам. Так, в

случае совсем не обязательно понимать, почему интеграл

превращается именно в . Можно принять эту и другие формулы как данность. Все пользуются электричеством, но мало кто задумывается, как там по проводам бегают электроны.

Так как дифференцирование и интегрирование – противоположные операции, то для любой первообразной, которая найдена правильно, справедливо следующее:

210