Sbor_z_u_m (1)

.

Ответ:

.

Примечание: обратите внимание, как берется интеграл от тангенса в кубе, здесь использовано следствие основного тригонометрического тождества

.

Далее в интегралах использован метод подведения функций под знак дифференциала (можно использовать замену в определенном интеграле, но решение будет длиннее).

8.2.4. Как вычислить объем тела вращения с помощью определенного интеграла?

Кроме нахождения площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла (см. 7.2.3.) важнейшим приложением темы является вычисление объема тела вращения. Материал простой, но читатель должен быть подготовленным: необходимо уметь решать неопределенные интегралы средней сложности и применять формулу Ньютона-Лейбница

вопределенном интеграле, нужны также уверенные навыки построения чертежей. Вообще

винтегральном исчислении много интересных приложений, с помощью определенного интеграла можно вычислить площадь фигуры, объем тела вращения, длину дуги, площадь поверхности тела и многое другое. Представьте некоторую плоскую фигуру на координатной плоскости. Представили? ... Теперь данную фигуру можно ещё и вращать, причем вращать двумя способами:

–вокруг оси абсцисс ;

–вокруг оси ординат .

Разберём оба случая. Особенно интересен второй способ вращения, он вызывает наибольшие затруднения, но на самом деле решение практически такое же, как и в более распространенном вращении вокруг оси абсцисс. Начнем с наиболее популярной разновидности вращения.

Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси OX

Пример 1

Вычислить объем тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями ,

вокруг оси .

Решение: Как и в задаче на нахождение площади, решение начинается с чертежа плоской фигуры. То есть, на плоскости XOY необходимо построить фигуру, ограниченную линиями

321

, , при этом не забываем, что уравнение задаёт ось . Чертёж здесь довольно прост:

Искомая плоская фигура заштрихована синим цветом, именно она и вращается вокруг оси . В результате вращения получается такая немного яйцевидная летающая тарелка с двумя острыми вершинами на оси OX, симметричная относительно оси OX. На самом деле у тела есть математическое название, посмотрите в справочнике.

Как вычислить объем тела вращения? Если тело образовано в результате вращения вокруг оси OX, его мысленно разделяют на параллельные слои малой толщины dx, которые перпендикулярны оси OX. Объём всего тела равен, очевидно, сумме объёмов таких элементарных слоёв. Каждый слой, как круглая долька лимона, - низенький цилиндр высотой dx и с радиусом основания f(x). Тогда объём одного слоя есть произведение площади основания πf 2 на высоту цилиндра (dx), или π∙f 2(x)∙dx. А площадь всего тела вращения есть сумма элементарных объёмов, или соответствующий определённый интеграл. Объем тела вращения можно вычислить по формуле:

.

Как расставить пределы интегрирования «а» и «бэ», легко догадаться из выполненного чертежа. Функция … что это за функция? Давайте посмотрим на чертеж. Плоская фигура

ограничена графиком параболы сверху. Это и есть та функция, которая подразумевается в формуле. В практических заданиях плоская фигура иногда может располагаться и ниже оси OX. Это ничего не меняет – функция в формуле возводится в квадрат: f 2(x), таким образом, объем тела вращения всегда неотрицателен, что весьма логично.

Вычислим объем тела вращения, используя данную формулу:

.

Как мы уже отмечали, интеграл почти всегда получается простой, главное, быть внимательным.

Ответ:

322

В ответе нужно обязательно указать размерность – кубические единицы . То есть, в нашем теле вращения примерно 3,35 «кубиков». Почему именно кубические единицы? Потому что это наиболее универсальная формулировка. Могут быть кубические сантиметры, могут быть кубические метры, могут быть кубические километры и т.д., это уж, сколько зеленых человечков ваше воображение поместит в летающую тарелку.

Пример 2

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями

, , .

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Пример 3 Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной

линиями , , и .

Решение: Изобразим на чертеже плоскую фигуру, ограниченную линиями , , , , не забывая при этом, что уравнение x = 0 задает ось OY:

Искомая фигура заштрихована синим цветом. При её вращении вокруг оси OX получается плоский угловатый бублик (шайба с двумя коническими поверхностями).

Объем тела вращения вычислим как разность объемов тел. Сначала рассмотрим фигуру, которая обведена красным цветом. При её вращении вокруг оси OX получается усеченный конус. Обозначим объем этого усеченного конуса через V1.

Рассмотрим фигуру, которая обведена зеленым цветом. Если вращать данную фигуру вокруг оси OX, то получится тоже усеченный конус, только чуть поменьше. Обозначим его объем

через V2.

Очевидно, что разность объемов, V = V1 - V2, - это объем нашего «бублика». Используем стандартную формулу для нахождения объема тела вращения:

1) Фигура, обведенная красным цветом ограничена сверху прямой , поэтому:

.

323

2) Фигура, обведенная зеленым цветом ограничена сверху прямой , поэтому:

.

3) Объем искомого тела вращения:

Ответ:

Любопытно, что в данном случае решение можно проверить, используя школьную формулу для вычисления объема усеченного конуса.

Само решение чаще оформляют короче, примерно в таком духе:

Теперь немного о геометрических иллюзиях.

У людей часто возникают иллюзии, связанные с объемами, которую подметил еще Перельман (не тот, что отказался от премии, а еще в 50-60 гг.) в книге Занимательная геометрия. Посмотрите на плоскую фигуру в решённой задаче – она вроде бы невелика по площади, а объем тела вращения составляет чуть более 50 кубических единиц, что кажется слишком большим. Кстати, среднестатистический человек за всю свою жизнь выпивает жидкость объемом с комнату площадью 18 кв. метров, что, наоборот, кажется слишком маленьким объемом.

Пример 4

Вычислить объем тела, образованного вращением относительно оси OX плоской фигуры,

ограниченной линиями , , где .

Это пример для самостоятельного решения. Обратите внимание, что все дела происходят в

полосе , иными словами, даны практически готовые пределы интегрирования. Также постарайтесь правильно начертить графики тригонометрических функций. Если аргумент делится на два (x/2), то графики растягиваются по оси OX в два раза. Попробуйте найти хотя бы 3-4 точки по тригонометрическим таблицам и точнее выполнить чертеж. Полное решение и ответ в конце урока. Кстати, задание можно решить рационально и не очень рационально.

Вычисление объема тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси OY

Второй параграф будет еще интереснее, чем первый. Задание на вычисление объема тела вращения вокруг оси ординат – тоже достаточно частый гость в контрольных работах.

Попутно будет рассмотрена задача о нахождении площади фигуры вторым способом – интегрированием по оси OY, что позволит вам не только улучшить свои навыки, но и научит находить наиболее выгодный путь решения. В этом есть и практический смысл!

Пример 5

Дана плоская фигура, ограниченная линиями , , .

1)Найти площадь плоской фигуры, ограниченной данными линиями.

2)Найти объем тела, полученного вращением плоской фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг оси OY.

324

Внимание! Даже если вы хотите ознакомиться только со вторым пунктом, сначала обязательно прочитайте первый!

Решение: Задача состоит из двух частей. Начнем с определения площади. 1) Выполним чертёж:

Легко заметить, что функция задает верхнюю ветку параболы, а функция

– нижнюю ветку параболы. Перед нами парабола, которая «лежит на боку». Нужная фигура, площадь которой предстоит найти, заштрихована синим цветом.

Как найти площадь фигуры? Её можно найти «обычным» способом, который рассматривался в разделе: 7.2.3. Как вычислить площадь фигуры. Причем, площадь фигуры находится, как сумма площадей:

- на отрезке [0; 1], ;

– на отрезке [1; 4], . Поэтому:

.

Чем в данном случае плох обычный путь решения? Во-первых, получилось два интеграла. Вовторых, под интегралами корни, а корни в интегралах – не подарок, к тому же можно запутаться в подстановке пределов интегрирования. На самом деле, интегралы, конечно, не убийственные, но на практике всё бывает значительно печальнее, просто мы подобрали для задачи функции «получше». Есть более рациональный путь решения: он состоит в переходе к обратным функциям и интегрированию по оси OY.

Как перейти к обратным функциям? Просто нужно выразить «икс» через «игрек». Сначала разберемся с параболой:

.

Этого достаточно, но убедимся, что такую же функцию можно вывести из нижней ветки:

.

325

Для самопроверки рекомендую устно или на черновике подставить координаты 2-3-х точек параболы в уравнение , они обязательно должны удовлетворять данному уравнению.

С уравнением прямой линии всё проще: .

Теперь смотрим на ось OY и, пожалуйста, периодически наклоняйте голову вправо на 90 градусов по ходу объяснений (это не шутка!). Нужная нам фигура лежит на отрезке [2; 5], оси

OY, который ограничен красными пунктирами. При этом на отрезке [2; 5] прямая

расположена выше параболы , то есть площадь фигуры следует найти по уже знакомой вам формуле:

.

Что поменялось в формуле? Только буква, и не более того.

Примечание: Пределы интегрирования по оси OY расставлять строго снизу вверх!

Находим площадь:

На отрезке [2; 5], , поэтому:

.

Для читателей, сомневающихся в корректности интегрирования, найдём производные:

.

Получена исходная подынтегральная функция, значит интегрирование выполнено правильно.

Ответ:

2) Вычислим объем тела, образованного вращением данной фигуры, вокруг оси OY. Перерисуем чертеж немного в другом оформлении:

326

Итак, фигура, заштрихованная синим цветом, вращается вокруг оси OY. В результате получается «зависшая бабочка», которая вертится вокруг своей оси (ординат).

Для нахождения объема тела вращения будем интегрировать по оси OY. Сначала нужно перейти к обратным функциям. Это уже сделано и подробно расписано в предыдущем пункте. Теперь снова наклоняем голову вправо и изучаем нашу фигуру. Очевидно, что объем тела вращения, следует найти как разность объемов.

Вращаем фигуру, обведенную красным цветом, вокруг оси OY, в результате получается усеченный конус. Обозначим этот объем через V1.

Вращаем фигуру, обведенную зеленым цветом, вокруг оси OY и обозначаем через V2 объем полученного тела вращения. Объем нашей бабочки равен разности V = V1 - V2. Используем формулу для нахождения объема тела вращения:

.

В чем отличие от формулы предыдущего параграфа? Только в букве.

.

А вот и преимущество интегрирования, о котором мы говорили. Гораздо легче найти

,

чем предварительно возводить подынтегральную функцию в 4-ую степень.

Ответ:

Заметьте, что если эту же плоскую фигуру вращать вокруг оси OX, то получится совершенно другое тело вращения, другого, естественно, объема.

Пример 6

Дана плоская фигура, ограниченная линиями , и осью OX.

1)Перейти к обратным функциям и найти интегрированием по переменной y площадь плоской фигуры, ограниченной данными линиями.

2)Вычислить объем тела, полученного вращением плоской фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг оси OY.

Правильный ответ:

Это пример для самостоятельного решения. Полное же решение двух предложенных пунктов задания в конце урока.

Да, и не забывайте наклонять голову направо, чтобы разобраться в телах вращения и в пределах интегрирования!

Пример 7

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси OY фигуры, ограниченной кривыми

; .

Решение: Выполним чертеж:

327

Логично предположить, что объем тела вращения нужно искать уже как сумму объемов тел вращений. Используем формулу:

В данном случае:

Ответ:

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: Выполним чертеж:

Объем тела вращения:

Ответ:

329

Пример 4: Решение:

1) Выполним чертеж:

Объем тела вращения вычислим как разность объемов при помощи формулы:

В данном случае:

Ответ:

Примечание: Обратите внимание на использование свойства линейности – в данном случае при интегрировании выгодно превратить два интеграла в один. Это можно сделать, поскольку константы перед интегралами и пределы интегрирования одинаковы, а затем использовать формулу косинуса двойного угла.

Пример 6: Решение:

1) Выполним чертёж:

330