Sbor_z_u_m (1)

Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке b = 3; устно проверяем, что с другим пределом интегрирования всё нормально.

Для разнообразия решим этот предел сразу – методом подведения функции под знак дифференциала. Те, кому трудно, могут сначала найти неопределенный интеграл по уже рассмотренной схеме.

Добавка (-0) обозначает, что предел у нас левосторонний, и к точке b=3 мы приближаемся по оси OX слева, оставаясь меньше 3.

Разбираемся, почему дробь

(это лучше делать устно или на черновике). Подставляем под корень предельное значение b = 3 - 0.

и тогда

.

Окончательно:

.

Несобственный интеграл расходится.

Знак минус обозначает, что соответствующая криволинейная трапеция расположена под осью

OX. Будьте очень внимательны в знаках.

Да, конечно, здесь несобственный интеграл расходится, но и – это разные вещи, разные жанры, и если Вы недосмотрите за знаками, то, строго говоря, допустите серьезную ошибку.

И заключительные два примера для самостоятельного рассмотрения:

Пример 10 Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

.

Пример 11 Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

.

Разбор ситуации, когда оба предела интегрирования «плохие», или точка разрыва содержится прямо на отрезке интегрирования, можно найти в статье Эффективные методы решения определённых и несобственных интегралов.

341

Решения и ответы:

Пример 4: Решение:

.

Подынтегральная функция непрерывна на .

Пример 5: Решение:

.

Подынтегральная функция непрерывна на .

.

Несобственный интеграл расходится.

Пример 7: Решение:

Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке

Несобственный интеграл расходится. Примечание: с пределом выражения

можно разобраться следующим образом: вместо подставляем (-1)+0:

Пример 8: Решение:

Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв в точке

342

Вычислить определенный интеграл

.

О чётности функции много говорилось в методическом материале Графики и свойства элементарных функций. Повторим ещё раз: функция является чётной, если для неё выполняется равенство f(-x) = f(x).

Как проверить функцию на чётность? Нужно вместо x подставить -x.

В данном случае: и . Значит, данная функция является чётной.

Согласно правилу, на симметричном относительно нуля отрезке [-2; 2] наш интеграл от чётной функции можно вычислить следующим образом:

А сейчас геометрическая интерпретация. Да, продолжаем мучить несчастную параболу….

Любая чётная функция, в частности , симметрична относительно оси OY:

Определенный интеграл

численно равен площади плоской фигуры, которая заштрихована зеленым цветом. Но, в силу чётности подынтегральной функции, а, значит, и симметричности её графика относительно оси OY, достаточно вычислить площадь фигуры, заштрихованной синим цветом, а результат – удвоить. Одинаковые половинки есть геометрическое выражение свойства четности. Именно поэтому справедливо действие

.

Аналогичная история происходит с любой чётной функцией f(x) по симметричному относительно нуля отрезку:

345

Сначала вычислим площадь круга с помощью известной школьной формулы. Если радиус круга , то его площадь равна: S = π∙r2 = π∙22 = 4π ед2.

Для того, чтобы вычислить площадь круга с помощью определенного интеграла, необходимо из уравнения выразить функцию «игрек» от «икс» в явном виде:

Верхняя полуокружность задается уравнением .

Нижняя полуокружность задается уравнением .

Можно подставить несколько точек окружности в эти уравнения и убедиться в справедливости вышеизложенных утверждений.

Как вычислить площадь круга? В данном примере круг симметричен относительно начала координат, поэтому достаточно вычислить площадь одного сектора в 1-ой четверти (заштрихован синим цветом), а затем результат умножить на 4. Таким образом:

.

Такой же, но неопределенный интеграл рассматривался в Примере 6 раздела Сложные интегралы, он решался длительным и трудоёмким методом сведения интеграла к самому себе. Можно пойти тем же путём, но для определенного интеграла существует удобный и эффективный метод тригонометрической замены:

Проведём замену:

Почему именно такая замена, очень скоро станет понятно, а пока найдем дифференциал:

Выясним, во что превратится корень, который распишем очень подробно:

.

Если в ходе решения вы не сможете догадаться применить формулу наподобие , то, увы, получите: «Приходите в следующий раз».

После преобразования корня отчетливо видно, почему проведена замена , особое внимание обращаем на коэффициент при синусе – «двойке», этот коэффициент нужно подбирать таким образом, чтобы при возведении в квадрат всё хорошо вынеслось за скобки и из-под корня.

Осталось вычислить новые пределы интегрирования:

Если , то .

Новый нижний предел интегрирования: .

Новый верхний предел интегрирования: . Таким образом:

.

Площадь сектора необходимо умножить на 4, следовательно, площадь всей окружности:

348

Вероятно, у некоторых возник вопрос, зачем вообще мучиться с интегралом, если есть короткая школьная формула S = π∙r2? А дело в том, что возможность очень точно вычислить площадь круга появилась только с развитием математического анализа, хотя уже в древности Архимед площадь круга рассчитывал с приличной точностью.

Разобранный пример можно решить в общем виде, то есть найти площадь круга, ограниченного

окружностью произвольного радиуса: . В результате получится как раз формула S =

π∙r2!

Следует отметить, что к решению данной задачи можно было применить и другой подход – вычислить площадь верхнего полукруга с помощью интеграла

,

а затем удвоить результат. Но в силу чётности подынтегральной функции решение сводится к оптимальной версии:

.

Еще раз подчеркнём важность проведенной тригонометрической замены, она встретится на практике не раз и не два. Поэтому, для закрепления материала, чуть - более сложное задание для самостоятельного решения:

Пример 5 Вычислить определенный интеграл

.

По условию требуется вычислить определенный интеграл, поэтому чертеж выполнять не

нужно. Хорошо подумайте над коэффициентом в замене . Если возникнут трудности с интегралом после замены, вернитесь к уроку Интегралы от тригонометрических функций. Полное решение и ответ в конце урока.

8.4.2. Метод решения определенного интеграла от нечетной функции по симметричному относительно нуля отрезку

Вам понравится. Рассмотрим тот же определенный интеграл с симметричным относительно нуля отрезком интегрирования:

.

Если подынтегральная функция f(x) является нечётной, то

.

Почему такой интеграл равен нулю?

349