Sbor_z_u_m (1)

Отметим, что если B {в комнате холодно}, то ¬B {в комнате не холодно}, но при этом высказывание D {в комнате жарко} отрицанием высказывания В не является.

Операция конъюнкции, или конъюнкция высказываний Высказывание С, составленное из двух высказываний А и В при помощи союза «и»,

называют конъюнкцией (логическим произведением) этих высказываний: C A B (выражение A B читается: «А и В»).

Логическое произведение C A B истинно только в том случае, когда: «и А, и В одновременно истинны».

Таблица истинности для операции конъюнкции:

A{12делитсяна3}B{12делитсяна4}

Пусть, например, , . Тогда высказывание С – истинно, т. к. истинно каждое из высказываний А и В, составляющих высказывание С.

Операцию конъюнкции можно определить и для нескольких высказываний, как связку высказываний, объединённых союзом «и». Конъюнкция из n высказываний – новое высказывание, причём высказывание

А2 А3 А4 {(8 = 3) и (отец старше сына) и (Мурманск севернее Смоленска)} – ложное, в то время как высказывание

А1 А3 А4 {(5 > 3) и (отец старше сына) и (Мурманск севернее Смоленска)} – истинное.

Операция дизъюнкции, или дизъюнкция высказываний Высказывание С, составленное из двух высказываний А, В при помощи союза «или»,

называют дизъюнкцией (логической суммой) этих высказываний: C A B (выражение A B читается: «А или В»).

Сумма C A B является истинным высказыванием тогда, когда, по крайней мере, одно из слагаемых истинно.

11

Таблица истинности для операции импликации:

Первый член импликации A B , – высказывание А, – называется посылкой, или условием, а второй член В – заключением.

Обратите внимание, что таблица истинности для импликации, в отличии от таблиц для конъюнкции, дизъюнкции и эквивалентности, изменяется при перестановке столбцов для А и В.

Отметим также, что импликация не полностью соответствует обычному пониманию слов «если…, то…» и «следует». Из третьей и четвёртой строк таблицы истинности для импликации вытекает, что если А – ложно, то, каково бы ни было В, высказывание A B считается истинным. Таким образом, из неверного утверждения следует (может следовать) всё, что угодно.

Например, утверждение «если 6 – простое число, то 7 6 », или утверждение «если 7 6 , то существуют ведьмы» являются истинными логическими утверждениями. Истинным является и рассмотренное ранее высказывание: «если слон – насекомое, то Антарктида покрыта тропическими лесами».

Как говорил Р. Декарт: «Если 2 х 2 = 5, то я докажу, что из трубы вылетает ведьма».

Для иллюстрации содержательного смысла импликации рассмотрим ещё один пример. Пусть A {папа завтра получит премию},

B {папа завтра купит сыну велосипед}. Импликация A B может быть сформулирована так:

«если папа завтра получит премию, то купит сыну велосипед».

Пусть А и В – истинны. Тогда папа, получив премию, покупает сыну велосипед. Естественно считать это истинным высказыванием.

Если же папа, получив премию (А – истинно), не купит сыну велосипед (В – ложно), то это, можно сказать, – не логичный поступок, и импликация имеет значение «ложь».

Если папа не получит премию (А – ложно), но купит велосипед (В – истинно), то результат положителен (импликация истинна).

Наконец, в том случае, если, не получив премии (А – ложно), папа не купит велосипед (В

– ложно), то обещание не нарушено, импликация истинна.

истинным высказыванием.

Высказывание A B можно записать в виде одного верного нестрогого неравенства

2 3 .

3)Эквивалентность ( A B 2 3 тогда и только тогда, когда 2 < 3 ) представляет собой ложное высказывание, т.к. А – ложно, а В – истинно.

4)Импликация A B если 2 = 3, то 2 < 3 является истинным высказыванием.

13

В самом деле, импликация A B согласно определению ложна только тогда, когда А – истинно, а В –

Порядок старшинства операций

Новые высказывания могут быть образованы при помощи нескольких или даже всех пяти логических операций, причём каждая из операций может применяться несколько раз.

Если в выражении встречаются различные логические операции, то порядок

старшинства операций (их приоритет) следующий (понижение приоритета слева направо):

, , , ,

. Это означает, что сначала выполняются операции отрицания, затем конъюнкции и т.д. Для нарушения порядка выполнения логических операций служат скобки.

Истинность или ложность сложного высказывания можно установить, решая задачу «по действиям».

Рассмотрим примеры.

Задача 2. Пусть высказывания А и В имеют значения «истина», а высказывания C и D – «ложь».

Какое значение имеет высказывание? E(ABC DA) Решение.

В соответствии с порядком старшинства логических операций будем решать задачу «по действиям», используя таблицы истинности логических операций.

1)D - «истина».

2)B C - «ложь».

3)( D) A - «истина».

4)A (B C) - «ложь».

Задача 3. Пусть высказывания А и В имеют значения «истина», а высказывания C и D – «ложь».

F[AB(C D) A]

Какое значение имеет высказывание ? Решение.

1)D - «истина».

2)C ( D) - «ложь».

3)B (C D) - «ложь».

Если в выражении присутствуют арифметические операции, операции сравнения и логические операции, то приоритет следующий:

сначала выполняются арифметические операции; порядок старшинства арифметических операций (слева направо): умножение, деление, сложение, вычитание;

затем – операции =, и операции сравнения (<, , , >) в том порядке, в каком они встречаются в выражении;

Основные законы математической логики

Коммутативность: A B B A, A B B A.

14

Закон идемпотентности: A A A A A.

A «истина» = А, A «ложь» = «ложь»

A «истина» = «истина», A «ложь» = А.

Закон противоречия: A A «ложь».

Закон исключения третьего: A A «истина».

Закон двойного отрицания: ( A) A.

Парадоксы логики

Парадоксы логики или семантические парадоксы - это «правдоподобные» рассуждения, приводящие к противоречивым результатам.

Хотя логика и является основой всех остальных наук, тем не менее, присущее ей, наряду с фундаментальностью, свойство самоочевидности привело к отсутствию глубоких исследований вплоть до XIX столетия, когда интерес к логике оживился под влиянием неевклидовых геометрий (геометрии Лобачевского), а также необходимости строгого обоснования математического анализа. Особый же всплеск внимания к логике возник на исходе XIX века: мир был поражён открытием парадоксов логики, то есть рассуждений, приводящих к противоречиям. Эти парадоксы обычно называют семантическими парадоксами.

Парадокс лжеца. Некто утверждает: «Я лгу». Если утверждение «я лгу» истинно («я лгу» = «истина»), то это означает, что он действительно лжёт о том, что лжёт, т.е. утверждение «я лгу» – ложно. Получается, что высказывание «я лгу» и истинно, и ложно одновременно.

Парадокс брадобрея. Командир полка назначает одного из солдат брадобреем, приказывая при этом брить тех и только тех солдат, которые не бреются сами. Что же делать брадобрею с самим собой? Если он – брадобрей – будет бриться сам, то это означает, что брадобрей бреет того, кто бреется сам. Он нарушит приказ командира. Но если он не будет сам бриться, значит, его должен побрить брадобрей, т.е. он сам. Получается, что он должен брить и не брить себя одновременно.

Основная цель математической логики

Основной целью математической логики является обеспечение системы формальных обозначений для рассуждений, встречающихся не только в математике, но и в повседневной жизни.

Решим следующую задачу, используя законы сложения и умножения высказываний.

Задача 4. Брауну, Джонсу и Смиту предъявлено обвинение в соучастии в ограблении банка. Похитители скрылись на поджидавшем их автомобиле. На следствии Браун показал, что преступники были на синем «Бьюике»; Джонс сказал, что это был чёрный «Крайслер», а Смит утверждал, что это был «Форд Мустанг» и ни в коем случае не синий. Стало известно, что, желая запутать следствие, каждый из них указал правильно либо только марку машины, либо только её цвет. Какого цвета был автомобиль и какой марки?

Решение:

1) Перечислим все имеющиеся высказывания: A{машина синего цвета} – 1-е показание Брауна, B {машина марки «Бьюик»} – 2-е показание Брауна, C{машина чёрного цвета} – 1-е показание Джонса, D{машина марки «Крайслер»} – 2-е показание Джонса,

E машина марки «Форд Мустанг»} – 1-е показание Смита,A – 2-е показание Смита.

15

Весь материал изложен в доступной форме, приведены соответствующие примеры, так что человек, знакомый с арифметическими действиями для действительных чисел, сможет научиться выполнять действия с матрицами.

Мы минимизировали теоретические выкладки, что-то объясняем «на пальцах» и используем «ненаучные термины». Здесь наша задача – научиться выполнять действия с матрицами. Рассматриваем основы раздела «Алгебра матриц».

Определение: Матрица – это упорядоченная прямоугольная таблица каких-либо элементов, каждый из которых характеризуется двумя натуральными числами: номером строки и столбца, на пересечении которых в матрице он находится.

В качестве элементов матрицы будем рассматривать числа. Мы рассматриваем числовые матрицы. Элемент – это термин. А элементом «матрицы окон» дома, расположенного напротив Вашего окна, может быть семья, проживающая за данным окном на данном этаже в данном вертикальном ряду.

Обозначения: Матрицы обычно обозначают прописными латинскими буквами, например, как Am x n, справа внизу которых встречаются индексы в виде произведения натуральных чисел (m x n, или m∙n), читается: «m на n». Здесь m – число строк, а n – число столбцов в матрице A. Если m = n, то обозначают An∙ n = A n и называют её «квадратная матрица n –го порядка».

Обозначения: Краткая запись выражения «матрица типа A, имеющая m строк и n столбцов, состоящая из таких элементов типа aij, что i изменяется от 1 до m, а j изменяется от 1 до n» имеет вид:

Am n = {aij | i = 1…m; j = 1…n}.

Здесь, для элемента aij , читается: «а и жи», но не «а и на жи»!

Пример:

Рассмотрим матрицу «два на три»:

Данная матрица состоит из шести элементов:

Все числа (элементы) внутри матрицы существуют сами по себе, то есть ни о каком вычитании речи не идет:

Это просто таблица (набор) чисел!

Также договоримся не переставлять числа, если иного не сказано в объяснениях.

У каждого числа свое местоположение, и перетасовывать их нельзя!

Рассматриваемая матрица имеет две строки:

18