Sbor_z_u_m (1)

Смотрим в таблицу производных и замечаем формулы , , то есть,

внашем подынтегральном выражении есть функция и её производная. Однако мы видим, что при дифференцировании косинус и синус взаимно превращаются друг в друга, и возникает вопрос: как выполнить замену переменной и что же обозначать за t – синус или косинус?! Вопрос можно решить методом научного тыка: если мы неправильно выполним замену, то ничего хорошего не получится.

Общий ориентир: в похожих случаях за t нужно обозначить функцию, которая находится

взнаменателе.

Итак, запомнили:

.

Прерываем решение и проводим замену

;

.

В знаменателе у нас всё хорошо, всё зависит только от, теперь осталось выяснить, во что

превратится .

Для этого находим дифференциал dt:

Или, если короче: Из полученного равенства по правилу пропорции получаем нужное нам выражение:

.

Итак:

Теперь всё подынтегральное выражение у нас зависит только от t и можно продолжать решение

Готово. Напоминаем, что цель замены – упростить подынтегральное выражение. В данном случае всё свелось к интегрированию степенной функции по таблице.

А сейчас два примера для самостоятельного решения:

Пример 12 Найти неопределенный интеграл

.

Пример 13 Найти неопределенный интеграл

241

.

Полные решения и ответы в конце урока.

Пример 14 Найти неопределенный интеграл

.

Здесь опять в подынтегральном выражении находятся синус с косинусом (функция с производной), но уже в произведении, и возникает дилемма – что обозначать за t, синус или косинус?

Можно попытаться провести замену методом научного тыка, и, если ничего не получится, то обозначить за t другую функцию, но есть общий ориентир.

Общий научный ориентир: за t нужно обозначить ту функцию, которая, образно говоря, находится в «неудобном положении».

Мы видим, что в данном примере, что студент косинус «мучается» от степени, а синус – свободно так сидит, сам по себе… Поэтому проведем замену:

.

Пример 15 Найти неопределенный интеграл

.

Анализируем подынтегральную функцию. Что нужно обозначить за t? Вспоминаем наши ориентиры:

1)Функция, скорее всего, находится в знаменателе;

2)Функция находится в «неудобном положении».

Кстати, эти ориентиры справедливы не только для тригонометрических функций.

Под оба критерия (особенно под второй) подходит синус, поэтому напрашивается замена

.

В принципе, замену можно уже проводить, но сначала неплохо было бы разобраться, а что делать с ? Во-первых, «отщипываем» один косинус:

.

Произведение мы резервируем под наш «будущий» дифференциал dt. А выражаем через синус с помощью основного тригонометрического тождества:

. Проводим преобразования:

Вот теперь замена:

242

Таким образом:

.

На практике можно не расписывать так подробно, а пользоваться готовым результатом:

.

Последнее выражение справедливо только в том случае, если под синусами и косинусами у нас

просто «иксы», для интеграла (о котором мы еще поговорим) всё будет несколько иначе!

При универсальной тригонометрической подстановке синусы и косинусы у нас превращаются в следующие дроби:

, .

Последние равенства основаны на известных тригонометрических формулах:

, .

Итак, чистовое оформление может быть таким:

Проведем универсальную тригонометрическую подстановку: . Тогда

,

.

Далее, с учётом подстановки:

(1) Производим в исходном интеграле подстановки:

, , .

(2)Приводим знаменатель к общему знаменателю.

(3)Избавляемся от четырехэтажности дроби, при этом у нас сокращается. Раскрываем скобки в знаменателе, двойку в числителе выносим за знак интеграла.

244

(4)Приводим подобные слагаемые в знаменателе.

(5)Интеграл решается методом выделения полного квадрата. Более подробно с этим методом можно ознакомиться на уроке Интегрирование некоторых дробей. Разложение

является подготовкой для осуществления вышеуказанного приёма.

(6)Выделяем полный квадрат и готовим интеграл для интегрирования.

(7)Интегрируем по табличной формуле .

(8)Проводим обратную замену, вспоминая, что . Готово.

Рассмотрим похожий интеграл: .

Нет, решать мы его не будем, а просто поймем, как проводить замену.

Здесь тоже проводится универсальная тригонометрическая подстановка: .

Обратите внимание, что аргумент под тангенсом должен быть в два раза меньше, чем под

синусом и косинусом. Формулы , сохраняют статус-кво, а вот дифференциал будет немного другой:

.

Интеграл решается путем замены и т.д., всё точно так же, единственное отличие, дифференциал будет опять немного другой.

Пример 18 Найти неопределенный интеграл

.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

С помощью универсальной тригонометрической подстановки решаются и другие интегралы.

Пример 19 Найти неопределенный интеграл

.

Здесь перед применением универсальной тригонометрической подстановки необходимо

понизить степени в знаменателе при помощи формул , . Попробуйте разобраться в данном примере самостоятельно, полное решение и ответ очень близко!

245

Применение универсальной тригонометрической подстановки часто приводит к длинным и трудоемким вычислениям. Поэтому на практике универсальной тригонометрической подстановки стараются избегать (если возможно). Для этого используют ряд методов и приемов, о которых можно прочитать в статье Сложные интегралы.

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:

Используем формулу:

Пример 4: Решение:

Пример 6: Решение:

Пример 8: Решение:

Пример 10: Решение:

Пример 12: Решение:

246

.

Проведем замену:

.

Примечание: здесь можно было сделать замену , но гораздо выгоднее обозначить за t весь знаменатель.

Пример 13: Решение:

.

Проведем замену:

.

.

Пример 16: Решение:

Проведем замену:

.

.

Пример 18: Решение:

.

Проведем универсальную тригонометрическую подстановку:

.

Пример 19: Решение:

247

Анализируя подынтегральную функцию, мы замечаем, что и в числителе и в знаменателе у нас находятся многочлены первой степени: x и (x+3). Когда в числителе и знаменателе находятся многочлены одинаковой степени, то помогает следующий искусственный приём: в числителе

мы должны самостоятельно организовать такое же выражение, что и в знаменателе:

.

Рассуждение может быть следующим: «В числителе надо организовать(x + 3), чтобы привести интеграл к табличным, но если я прибавлю к «иксу» тройку, то, для того, чтобы выражение не изменилось – я обязан вычесть такую же тройку».

Теперь можно почленно разделить числитель на знаменатель:

В результате мы добились того, чего и хотели. Используем первые два правила интегрирования:

Готово. Проверку при желании выполните самостоятельно. Обратите внимание, что во втором интеграле – это «простая» сложная функция. Особенности ее интегрирования обсуждались на уроке Метод замены переменной в неопределенном интеграле.

Кстати, рассмотренный интеграл можно решить и методом замены переменной, обозначая , но запись решения получится значительно длиннее.

Пример 2 Найти неопределенный интеграл

.

Выполнить проверку Это пример для самостоятельного решения. Следует заметить, что здесь метод замены

переменной уже не пройдёт.

Внимание, важно! Примеры №№1,2 являются типовыми и встречаются часто.

В том числе, подобные интегралы нередко возникают в ходе решения других интегралов, в

частности, при интегрировании иррациональных функций (корней).

Рассмотренный приём работает и в случае, если старшая степень числителя больше старшей степени знаменателя.

Пример 3 Найти неопределенный интеграл

.

Выполнить проверку.

Начинаем подбирать числитель. Алгоритм подбора числителя примерно такой:

1) В числителе нам нужно организовать 2x-1, но там x2. Что делать? Заключаю 2x-1 в скобки и умножаю на x, как: x(2x-1).

249

2) Теперь пробуем раскрыть эти скобки, что получится? Получится: (2x2-x). Уже лучше, но никакой двойки при x2 изначально в числителе нет. Что делать? Нужно домножить на (1/2), получим:

.

3) Снова раскрываем скобки, получаем:

.

Получился нужный x2! Но проблема в том, что появилось лишнее слагаемое (-1/2)x. Что делать? Чтобы выражение не изменилось, мы обязаны прибавить к своей конструкции это же (1/2)x:

. Жить стало легче. А нельзя ли еще раз в числителе организовать (2x-1)?

4) Можно. Пробуем: . Раскрываем скобки второго слагаемого:

. Простите, но у нас было на предыдущем шаге (+1/2)x, а не(+x). Что делать? Нужно домножить второе слагаемое на (+1/2):

.

5) Снова для проверки раскрываем скобки во втором слагаемом:

. Вот теперь нормально: получено (+1/2)x из окончательной конструкции пункта 3! Но опять есть маленькое «но», появилось лишнее слагаемое (-1/4), значит, мы обязаны прибавить к своему выражению (1/4):

.

Если всё выполнено правильно, то при раскрытии всех скобок у нас должен получиться исходный числитель подынтегральной функции. Проверяем:

Получился. Таким образом:

Готово. В последнем слагаемом мы применили метод подведения функции под дифференциал.

Если найти производную от ответа и привести выражение к общему знаменателю, то у нас получится в точности исходная подынтегральная функция

.

Рассмотренный метод разложения x2 в сумму есть не что иное, как обратное действие к приведению выражения к общему знаменателю.

250