Физика_лек_pdf / Модуль 7. Физика колебаний и волн

колебания. Если при разомкнутом контуре в момент времени t = 0 сообщить конденсатору электроемкостью .С заряд q, то между пластинами конденсатора появится электрическое поле с энергией Wк = q2 /(2С) (рис. 14.1). Напряженность электрического поля

конденсатора станет максимальной (), а электрический ток в цепи — минимальным и равным нулю. При замыкании контура конденсатор начнет разряжаться через катушку с индуктивностью L , и при этом электрическое поле его будет уменьшаться, а электрический ток в цепи — увеличиваться. В это же время в катушке индуктивности возникает магнитное поле с последующим усилением его напряженности.

В момент времени t = Т / 4 произойдет полная разрядка конденсатора ), а

напряженность магнитного поля катушки станет максимальной (), как и сила электрического тока. Это значит, что вся энергия контура сосредоточена теперь в

магнитном поле катушки — (рис. 14.2). Далее магнитное поле катушки и электрический ток, создавший магнитное поле, начнут ослабевать. Исчезающее магнитное поле создает в соленоиде ток самоиндукции, который в соответствии с правилом Ленца направлен в сторону убывающего тока. Происходит перезарядка конденсатора — в нем образуется электрическое поле, направление которого противоположно начальному. В момент времени t = T / 2 конденсатор окажется полностью перезаряженным (рис. 14.3).

Напряженность электрического поля в нем достигает максимального значения ( ),ток в контуре станет равным нулю, как и напряженность магнитного поля в катушке (

). И следовательно, энергия контура окажется вновь сосредоточенной в конденсаторе. Затем процесс разрядки конденсатора повторится, но в обратном направлении. В контуре появится электрический ток, а в катушке — магнитное поле. Ясно, что направления электрического тока и магнитного поля будут противоположными предыдущим направлениям. Через 3/4 периода конденсатор вновь окажется разряженным, q = 0 (рис. 14.4). Энергия электрического поля конденсатора полностью преобразуется в

энергию магнитного поля катушки индуктивности (, ). И наконец, в следующий момент времени при t = Т магнитное поле будет ослабевать, а ток самоиндукции — препятствовать этому ослаблению. Индукционный ток также перезарядит конденсатор. Очевидно, что в контуре возникают незатухающие электромагнитные колебания с периодическим переходом энергии электрического заряда в магнитную энергию и наоборот. Подобно механическим, эти колебания называют собственными, или свободными.

Рис. 14.1

Из сравнения электромагнитных колебаний с механическими следует аналогия потенциальной энергии маятника — энергии электрического поля конденсатора; кинетической энергии маятника — энергии магнитного поля катушки; скорости движения маятника — силе тока в контуре. Роль инертности маятника выполняет индуктивность катушки. Математическое описание колебательных процессов в электрических системах будет таким же, как и в механических. С этой целью приведем следующие рассуждения. Пусть в момент времени t конденсатор с электроемкостью С имеет заряд q . Тогда мгновенное значение напряжения на конденсаторе равно U с = q / C . Производная заряда по времени dq / dt , как известно, определяет мгновенное значение силы тока в катушке с индуктивностью L ( I = dq / dt ). А напряжение на катушке при этом определяется как UL =

– LdI / dt = – Ld 2 q / dt 2 . Очевидно, что в каждый момент времени напряжение на катушке и конденсаторе должны быть равны друг другу, то есть UL + Uc = 0. Отсюда следует Ld 2 q / dt 2 + q / c = 0. После деления на L получим дифференциальное уравнение незатухающих электромагнитных колебаний

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид

q = qm cos ( ω t + θ o ), (14.2)

где qm — амплитудное значение заряда конденсатора; ω — собственная частота колебательного контура (определяется через индивидуальные постоянные контура L и С,

). Поскольку (ω = 2 πv = 2π / Т , то период колебаний можно найти из формулы Томсона , с.

Разделив выражение (14.2) на величину электроемкости, получим мгновенное напряжение

U = Um cos ( ωt + θ o ), В,

где Um = qm / C — амплитудное значение напряжения. Так как I = dq / dt , то, продифференцировав соотношение (14.2) по времени, получим мгновенную силу тока в

колебательном контуре I = – ω qm sin ( ωt + θ o ) = I m cos ( ωt + θ o + π /2) , где I m = ω qm — амплитуда силы тока. Колебания тока опережают по фазе колебания заряда на π/2.

В качестве подведения итогов представим в таблице основные характеристики механических и электрических колебаний. Из таблицы очевидна аналогия между характеристиками механических и электрических колебательных систем. Быть может, здесь имеет смысл вспомнить понятие добротности, которое в применении, конечно же, только к необратимому колебательному контуру показывает сколько периодов электроэнергия может колебаться между конденсатором и катушкой без пополнения энергии извне, пока не рассеется на тепловые потери.

Таблица 14.1

Основные характеристики механических и электрических колебаний

Резонанс напряжений

Рассмотрим цепь переменного тока с последовательным соединением элементов R , L и C (рис. 14.2). При равенстве реактивных сопротивлений катушки индуктивности XL = ωL и конденсатора ХС = 1/( ωC ) ( XL = ХС ) имеет место так называемый резонанс напряжений. Основная особенность резонанса состоит в том, что реактивное сопротивление цепи равно нулю. Следовательно, общее сопротивление электрической

значение. А падение напряжения на активном сопротивлении становится равным внешнему напряжению ( UR = U ), так как падения напряжений на конденсаторе U С и на катушке индуктивности UL оказываются одинаковыми по амплитуде и противоположными по фазе. Это значит, что при резонансе напряжений происходит взаимная компенсация напряжений UL и U С .

Рис. 14.2

Изложенное дает основание предположить, что использование явления резонанса напряжений в электротехнике может оказаться перспективным. И не случайно, сто лет назад великий Н. Тесла поговаривал о том, что вся электротехника без резонанса — это пустая трата электроэнергии. Последнее время дает опытное подтверждение [ИР, № 1/97, с. 9] этому утверждению. Оказывается, что именно благодаря явлению электрического резонанса с помощью колебательного контура можно многократно усилить входную мощность. Получается, что колебательный контур при соответствующей настройке становится накопителем подводимой извне энергии. И это обусловлено, наверное, прежде всего отсутствием реактивного сопротивления в цепи, на преодоление которого тратится большая часть приложенной мощности. Конечно, подобное устройство является двигателем с КПД, достигающим нескольких единиц. И результаты действующих с таким КПД электрических устройств полностью расходятся с представлениями традиционной физики. И объяснить причины расхождения можно в данном случае не недееспособностью закона сохранения энергии, а опережением экспериментов понимания резонанских процессов, происходящих в необратимой электрической цепи с потребителем энергии.

Волны в упругой среде. Уравнение волны

Тело называют упругим или сплошным, а его деформации от внешнего воздействия

— упругими, если деформации тела исчезают с прекращением воздействий. Упругие свойства вещества зависят от характера взаимодействия между микрочастицами и их теплового движения. Согласно закону Р. Гука упругие деформации определяются внешними воздействиями. Для объемной деформации, например, газа изменение его давления dP при бесконечно малом изменении объема dV прямо пропорционально относительной объемной деформации: dP = – kdV / V , Па, где k — модуль объемной упругости газа, Па. Твердые тела, помимо объемной упругости, обладают упругостью формы, которая проявляется в сопротивлении деформации сдвига. Сдвигом называют деформацию твердого тела, при которой все его плоские слои, параллельные некоторой неподвижной плоскости, называемой плоскостью сдвига, не искривляясь и не изменяясь в размерах, смещаются параллельно друг другу. Деформация твердого тела связана с деформацией его кристаллической решетки. Этим деформациям препятствуют силы взаимодействия между микрочастицами. Упругость жидкости обусловлена тоже силами межмолекулярного взаимодействия. Но поскольку средняя продолжительность оседлого существования молекул жидкости незначительна, жидкости подобно газам обладают только объемной упругостью. Периодический во времени и пространстве процесс

распространения деформаций в упругой среде называют волновым процессом или волной. При распространении волны частицы среды совершают вынужденные колебания: Близко расположенные к источнику возмущений частицы стремятся возвратиться под действием упругих сил межатомного взаимодействия в положение равновесия, а более удаленные частицы выводятся из положений равновесия. Последние взаимодействуют с соседними частицами и т. д. Таким образом, более удаленные от растягиваемого или сжимаемого тела области среды вовлекаются в колебательное движение. Результирующее смещение распространяется в среде в виде импульса — волны. Источники упругих деформаций среды называют источниками упругих волн. Особое внимание следует обратить на тот факт, что распространение упругих волн в среде не связано с переносом вещества. Частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. То есть вместе с волной от частицы к частице среды передается только состояние колебательного движения и его энергия. Следовательно, основным свойством всех волн является перенос энергии без переноса вещества. Перенос энергии является динамическим признаком волнового движения. А кинематическим признаком волнового движения служит распространение фазы колебаний.

Волны классифицируются на упругие, волны на поверхности жидкости и электромагнитные. Волны бывают продольными и поперечными. Упругая волна называется продольной, если смещение каждой частицы среды происходит вдоль одной линии с направлением распространения волны. Именно так распространяется звук. Продольные волны возникают от деформаций сжатия и расширения упругой среды и могут распространяться в твердой, жидкой и газообразной среде. При забивании гвоздя молотком продольный импульс (волна) высокой плотности проносится вдоль гвоздя, загоняя его конец глубже в дерево. Направление, вдоль которого распространяется колебание, называется лучом.

Упругая волна называется поперечной, если частицы среды колеблются в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны. Поперечные волны возникают от деформаций сдвига только в твердых телах. Такой эффект наблюдается, например, когда резким боковым движением посылается импульс вдоль веревки. Поперечно также электромагнитное излучение. Волны на воде, обычно, представляют собой смесь продольных и поперечных волн. Каждая отдельная капля, возбужденная проходящей волной, совершает движение по эллипсу, перемещаясь вверх и вниз, вперед и назад. По характеру распространения различают линейные, поверхностные и пространственные, или одно-, двух- и трехмерные волны. Границу, отделяющую колеблющиеся частицы от частиц, еще не начавших колебаться, называют фронтом волны. Все частицы волнового фронта колеблются с одинаковой фазой. Волновой фронт перпендикулярен лучу. Под лучом понимают направление распространения волны. Упругую волну называют гармонической или синусоидальной, если колебания составляющих ее частиц являются гармоническими.

Независимо от продольного или поперечного характера волнового движения смещение каждой отдельной частицы в упругой среде можно выразить в виде функции времени. На рис. 15.1 представлена зависимость между смещением ξ( x , t ) частиц среды, участвующих в волновом процессе, и расстоянием х этих частиц от источника колебаний для фиксированного момента времени t , с. Таким образом, график волны выражает зависимости смещения всех частиц среды от расстояния до источника колебаний в данный момент времени. Вспомним, что график колебаний дает зависимость смещения данной частицы от времени. Для частицы В (рис. 15.1), запаздывающей в своем колебании относительно частицы O на время распространения колебаний от O до В, равное η = х/ v , уравнение колебания имеет вид

ξ (x , t ) = A sin[ω(t – η) + θo ] = A sin[ω(t – x /v ) + θo ],

или ξ (x , t ) = A sin[2πt /T – 2πx /(Tv ) + θo ] = A sin(ωt – 2πx /λ + θo ) = A sin(ωt – kx + θo ), м .

Любое из уравнений позволяет определить смещение любой точки волны в любой момент времени и называется уравнением волны. Здесь: А — амплитуда волны, м; ω = 2π/Т — циклическая (круговая) частота волны, рад/с; Т — период колебаний, с; ωt – ωx / v + θo = ωt – kx + θo — фаза плоской волны, равная фазе колебаний в произвольной точке с координатой х, рад; θ o — начальная фаза колебаний в точках координатной плоскости х = 0, рад; v / v = vT = λ — длина волны — расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, м; k = 2π/λ = 2 π / ( vT ) = ω / v — волновое число (указывает, сколько длин волн укладывается на отрезке длиной 2π, рад/м).

Распространение волн в изотропной среде в общем виде описывается волновым уравнением

где 2 = ∂2 / ∂х 2 + ∂2 / ∂ y 2 + ∂2 / ∂ z 2 — оператор Лапласа. Для плоской волны вдоль оси х волновое уравнение становится одномерным

Скорость распространения упругих волн в твердых телах, жидкостях и скорость звука в газах

Скорость распространения упругих волн зависит от восстанавливающей силы, которая возвращает каждый возмущенный участок к положению равновесия, и от массы возмущенного участка. Чем сильнее натяжение веревки, тем быстрее распространяется волна. Чем больше плотность веревки, тем медленнее перемещается волна (импульс). Волна в заполненном водой шланге имеет значительно меньшую скорость, чем в пустом и легком шланге. Скорость импульса зависит также от его формы. Итак, скорость волны определяется механическими свойствами среды. Допустим, что при волновом процессе фаза плоской волны постоянна ω ( t – x / v ) + θ o = const . Продифференцировав, получим dt – (1/ v ) dx = 0 , откуда v = dx / dt м/с. Очевидно, что скорость v распространения волны есть не что иное, как скорость перемещения фазы волны. Поэтому ее называют фазовой скоростью. Говорить о данной скорости, как о скорости перемещения частицы среды вдоль оси х , нельзя. Из понятия волнового числа k = 2π/λ = 2 π / ( vT ) = ω / v , следует, что фазовая скорость гармонической волны v = ω / k зависит от ее частоты. Эту зависимость называют дисперсией волн, а среда, в которой наблюдается дисперсия, называется диспергирующей.

Как отмечалось, колеблющееся тело непрерывно деформируется, изменяя свою форму. Процесс распространения деформации попеременного растяжения и сжатия представляет собой продольную волну. При поперечной же волне имеет место периодически колеблющаяся деформация сдвига. В твердых телах больших поперечных размеров поперечные деформации затруднены, и скорость распространения упругих продольных волн равна v = ( k / ρ )0,5 , а скорость распространения поперечных волн — v =

[(Е/(2ρ)]0,5 . Здесь: Е — модуль упругости (модуль Юнга), Па; ρ — плотность среды, кг/м3

;k — модуль объемной упругости среды, Па.

Вжидкости и газе деформации сдвига неупруги. Если сдвинуть один слой такой среды относительно другого, то в противоположность твердому телу сдвинутые слои не стремятся вернуться в исходное состояние. Поэтому в жидкостях и газах могут

распространяться только продольные волны 'расширения и сжатия. Скорость волны в жидкости равна v = ( k /ρ)0,5 .

Скорость распространения продольной волны в газе есть, как отмечалось, не что иное как распространение упругих колебаний среды — сжатия и расширения. А в случае, когда частота колебаний находится в интервале от 20 Гц до 20 кГц, скорость продольной волны называется звуковой. Поэтому под фазовой скоростью распространения продольной волны в газе (да и не только в газе) при указанном условии следует понимать скорость звука «а ». Определяется скорость звука в газе аналогично фазовой скорости в жидкости. Однако, прежде чем перейти к расчетной формуле, проделаем следующие рассуждения. В продольной волне при одностороннем расширении относительное удлинение l / l газа в данном месте равно относительному увеличению удельного объема

v / v , которое сопровождается уменьшением давления Р. Модуль объемной упругости газа будет равен отношению P : ( v / v ). И тогда скорость распространения продольной

волны в газе будет равна , где v — удельный объем газа, м3 /кг; знак «минус» означает противоположность изменения физических величин Р и v , Если предположить, что деформации расширения и сжатия идеального газа происходят изотермически, что может иметь место при малой частоте продольных волн (медленные колебания плотности газа), то, исходя из уравнения состояния для 1 кг идеального газа — Pv = RT ( P = RT / v ), получим ( dP / dv ) T = – RT / v 2 = – P / v и

скорость распространения изотермических волн: .

Для быстрых колебаний высокой частоты расширение и сжатие газа происходит адиабатно. Исходя из уравнения адиабатного процесса Pvk = const дифференцированием его: kvk – 1 Pdv + vk dP = 0 и последующими преобразованиями: kPdv / v + dP = 0, ( dP / dv ) = – kP / v = – kRT / v 2 , получим скорость распространения адиабатных волн в идеальном газе

Скорость звука зависит от упругих свойств газа (и среды в целом) и от температуры. Заметим, что наибольшая скорость распространения звука в твердых телах наблюдается в

бериллии — 12250 м/с, а наименьшая — в воске — 390 м/с. Кроме того, скорость звука в стали — 5000 м/с, в воде — 1400 м/с и в сухом воздухе при 0 ° C а = ( 1,4·287 · 273)0,5 =

331,2 м/с. Согласно экспериментальным данным — а = 331,6 м/с. Для температуры

воздуха, отличной от 0 °С, предыдущее уравнение можно преобразовать к виду: а /331,6 = ( kRT )0,5 /( kR 273)0,5 , a = 331,6 + 0,6 t , м/с.

При распространении звука в атмосфере для получения точных результатов следует учитывать скорость и направление ветра, влажность воздуха. Однако, как и все в этом мире, процесс распространения звука в атмосфере и любой другой реальной среде является необратимым. Необратимость процесса приводит к затуханию звука и обусловлена поглощением звука средой и, следовательно, переходом звуковой энергии в другие виды, в основном, в тепловую.

Знание скорости продольных и поперечных волн позволяет сделать выводы о физических свойствах веществ, через которые проходят упругие волны. На этом основан сейсмический метод геологической разведки и определение эпицентра землетрясения.

Звуковые волны

Продольные механические волны, распространяющиеся в упругой среде в виде чередующихся сжатий и расширений с частотой от 20 до 20·103 Гц, называют звуковыми или акустическими. Их воспринимают органы человеческого слуха. Волны с более высокой частотой называют ультразвуком, с более низкой — инфразвуком:

инфра- и ультразвук человеческое ухо не слышит.

Рис. 15.2

Звуки классифицируют на музыкальный тон, созвучие (музыкальный звук), шум и взрыв. Ухо реагирует на механические колебания ощущением тона. Каждый тон (до, ре, ми, фа, соль, ля, си) имеет определенную высоту. Высота тона — это качество ощущения звука, и преимущественно зависит от длины и частоты звуковой волны (рис. 15.2). Чем больше частота, тем выше звук, и наоборот.

Созвучие — результат одновременного звучания нескольких музыкальных тонов. Результирующее колебание при этом не может быть синусоидальным. На слух музыкальные звуки (созвучие) отличаются высотой и громкостью. Тон самой низкой частоты в созвучии называют основным. Частоту основного тона сложного звука мы воспринимаем как высоту звука. Остальные тона, называемые обертонами, придают звуку специфический оттенок, «окраску». Их называют также тембром звука. Именно тембром отличается тон «ля», издаваемый одним музыкальным инструментом, от тона «ля» другого музыкального инструмента.

Шум — нерегулярные колебания, смесь многочисленных колебаний с примерно одинаковой амплитудой и с самыми разнообразными частотами. Взрыв же с акустической «точки зрения» представляет собой кратковременное и сильное звуковое действие.

Энергетической характеристикой звуковых волн является интенсивность (сила) звука, равная отношению количества энергии W , ежесекундно проходящей через поверхность, перпендикулярную направлению распространения волны, к площади s этой поверхности J = W / ( st ), Вт/м2 . Поскольку полная энергия гармонического колебания

тела равна W = 0,5 m ω2 A 2 , Дж, то очевидно, что сила звука пропорциональна квадрату амплитуды. Ухо человека улавливает и опознает звуковую волну с интенсивностью 2·10– 12 Вт/м2 , но в то же время выдерживает звуковой удар в 110 Вт/м2 . Подобным диапазоном восприятия силы звука не обладает, пожалуй, ни один физический прибор. Минимальное значение интенсивности звука называют порогом слышимости. Таким образом, для того чтобы звуковая волна создала слуховое ощущение, необходимо, чтобы она обладала частотой звукового диапазона и соответствующей частоте интенсивностью, не меньшей минимального значения (рис. 15.3). Максимальное значение силы звука называют болевым порогом. Она приблизительно в 1014 раз превышает порог слышимости. Значения обоих порогов различны для разных частот и представлены на рис. 15.3. Область, охватываемая кривыми, называется областью слышимости.

Рис. 15.3

Силу звука мы оцениваем субъективно как громкость звука. Громкость звука определяется амплитудой колебаний в звуковой волне (рис. 15.4). Громкость позволяет учесть различную чувствительность человеческого слуха к звуковым волнам различной частоты, даже если они обладают одинаковой мощностью. Количественная оценка уровня громкости основана на психофизическом законе Вебера-Фехнера: прирост уровня громкости пропорционален логарифму отношения интенсивно-стей звука двух сравниваемых источников. При изменении интенсивности звука от начального значения J o до данного J уровень громкости изменится на величину LN – LN o = klg ( J / J o ), дБ. При J o = 10–12 Вт/м3 , LN o = 0 и при коэффициенте пропорциональности k = 10 уровень громкости по закону Вебера-Фехнера принимает вид LN = 10 lg ( J / J o ). Минимальный уровень громкости, воспринимаемый человеком, равен 1 дБ. Шепоту соответствует уровень громкости 10 дБ, речи — 60, звуку самолетного двигателя — 120 дБ.

Рис. 15.4

Эффект Доплера в акустике

Пусть в упругой среде на некотором расстоянии от источника звуковых волн располагается воспринимающее колебания среды устройство, называемое приемником. Если источник и приемник звука движутся относительно друг друга в сторону их сближения или удаления, то приемник будет воспринимать частоту v пр , отличную от частоты источника v ист . Это явление называют эффектом Доплера. Рассмотрим эффект на следующем примере. Из опыта известно, что частота (тон) электровозного свистка повышается по мере приближения к слушателю и понижается при удалении поезда от слушателя. Данное явление можно объяснить так. Слушатель, как приемник звука, стоит неподвижно относительно среды, а источник звука — поезд, движется. Между ними гребни волн сгущаются, так что длина волны становится короче (рис. 15.5). Число гребней, проходящих мимо слушателя за 1 секунду, становится больше, и поэтому частота возрастает. Когда же источник звука удаляется от слушателя — приемника, расстояния между гребнями волн увеличиваются и частота, с которой гребни проходят мимо слушателя, становится меньше (более низкий тон). Таким образом, приближение источника звука к приемнику со скоростью v ист соответствует уменьшению длины волны на величину, равную пути, который проходит источник в течение периода колебания λ ум = λ – v ист / v ист = v ист Т . Удаление приемника от источника со скоростью v пр соответствует уменьшению скорости звуковой волны относительно приемника v ум = а – v пр . Подставляя в общее уравнение v пр = v / λ полученные значения v ум и λ ум , получаем

где а — скорость распространения звуковой волны в рассматриваемой среде. Формула (15.1) является количественным описанием эффекта Доплера.

Рис. 15.5

Возможны следующие случаи взаимного перемещения приемника и источника звука относительно друг друга и соответствующие им формулы для эффекта Доплера.

1. Источник и приемник покоятся относительно среды. Это значит, что v ист = v пр = 0 и, следовательно, эффект Доплера отсутствует. Это утверждение подтверждается тем, что звук с длиной волны λ = аТ= а / v ист достигнет приемника с частотой v пр = a /λ = a / ( aT )

= v ист .