9. Планиметрия

§ 9. ПЛАНИМЕТРИЯ I. Треугольники. – длины сторон треугольника , лежащих соответственно против углов ; – полупериметр, и – радиусы вписанной и описанной окружностей; – высота, медиана и биссектриса, проведенные к стороне . Площадь треугольника. ; ; (формула Герона). Свойства медиан, биссектрис, средних линий.

а) медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении , считая от вершин;

б) три биссектрисы пересекаются в одной точке, являющейся центром вписанной окружности;

в) биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим к ней сторонам: ; г) средняя линия параллельна третьей стороне и равна ее половине. Медиана треугольника , проведенная к стороне , вы-

ражается через стороны треугольника по формуле

81

.

Теорема синусов: . Теорема косинусов: .

Радиусы вписанной и описанной окружностей ; .

Свойства равнобедренного треугольника

а) углы при основании треугольника равны;

б ) высота, проведенная из вершины равнобедренного треугольника, является также биссектрисой и медианой. Прямоугольный треугольник (теорема Пифагора). , . Признаки подобия треугольников

1) два угла одного треугольника равны двум углам другого;

2) две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны;

3) три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого.

Свойства подобных треугольников У подобных треугольник отношение периметров равно , а отношение площадей – ( –коэффициент подобия). II. Четырехугольники 1) Параллелограмм

, .

82

Свойства параллелограмма: а) ;

б) диагонали точкой пересечения делятся пополам;

в) . Площадь параллелограмма:

2) Ромб – параллелограмм, все стороны которого равны. Свойства: а) ; б) диагонали ромба являются биссектрисами его внутренних углов. . 3 ) Трапеция. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме: . Площадь: . Если трапеция равнобедренная, т.е. , то углы при основании попарно равны: .

I I. Окружность и круг

1) Свойства хорд окружности: а) диаметр, делящий хорду пополам перпендикулярен этой хорде; б) равные хорды равноудалены от центра окружности, и, наоборот, равноудаленные от центра окружности хорды равны;

в) между отрезками пересекающихся хорд и имеет место соотношение

83

.

2 ) Касательная и секущая а) б) .

3)Углы в окружности а) – вписанный угол; . б) – центральный угол. .

4) Длины и площади в окружности и круге. – длина окружности; ( – радиус) – длина дуги окружности с угловой величиной в ; – площадь круга; – площадь сектора с угловой величиной дуги в .

IV. Вписанные и описанные четырехугольники. 1) Для того, чтобы около четырехугольника можно было

описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма противолежащих углов этого четырехугольника бы- ла равна . Из всех параллелограммов лишь около прямоугольника (в частности, квадрата) можно описать окружность. Око- ло трапеции можно описать окружность тогда и только

84

тогда, когда она равнобедренная. 2) Для того, чтобы в четырехугольник можно было вписать

окружность необходимо и достаточно, чтобы суммы длин

противолежащих сторон этого четырехугольника были

равны. Из всех параллелограммов лишь в ромб (в частности, в квадрат) можно вписать окружность.

Пример 1. Радиус одной из двух касающихся внешним образом окружностей равен 1, а длина их общей касательной равна 4. Найти радиус второй окружности.

Решение. Пусть – общая касательная; ; и – радиусы окружностей, . ( Если радиусы равны, то ). Проведем . . Из прямоугольного треугольника : , откуда , т.е. . Ответ: . Пример 2. В окружность, радиус которой равен , вписана трапеция; ее вершины делят окруж-ность в отношении . Найти площадь трапеции.

Решение. Пусть . Тогда: ; ; . Центр окружности находится внутри трапеции.

85

Ответ: . Пример 3. В прямоугольной трапеции большая диагональ, имеющая длину 24, является биссектрисой острого угла. Найти площадь трапеции, если расстояние от вершины тупого угла до диагонали равно 9.

Решение. Пусть  основание перпендикуляра, опущенного из точки на диагональ .

В :

(по условию , а ). Поэтому равно- бедренный: . Из : .

Треугольники и подобны (по двум углам). Следовательно:

, т.е. , откуда ;

, т.е. , откуда .

.

Ответ: . Пример 4. В четырехугольнике , который вписан в окружность, стороны и равны соответственно и , угол равен . Найти площадь четырехугольника, если известно, что его диагонали взаимно перпендикулярны.

86

Решение. Из треугольника по теореме косинусов имеем:

. .

Далее, .

С другой стороны, .

Отсюда: . По теореме Пифагора:

. . По свойству пересекающихся хорд: , откуда .

Искомая площадь четырехугольника :

Ответ: Пример 5. Величины углов треугольника относятся как 2:3:7. Длина наименьшей стороны равна 5. Найти радиус ок- ружности, описанной около этого треугольника.

Решение. Пусть в треугольнике , – радиус описанной окружности.

87

Так как , то , , . Наименьшая сторона треугольника лежит напротив наи- меньшего угла, т.е. . По теореме синусов имеем: , т.е. .

Ответ: 5.

Пример 6. Из точки, лежащей вне круга, проведены две секущие, внешние части которых равны 2. Определить площадь четырехугольника, вершинами которого служат точки пересечения секущих с окружностью, зная, что длины двух его противоположных сторон равны 6 и 2,4 .

Решение. По свойству секущих: . Но , следовательно, и . Тогда и параллельны как прямые, отсекающие на сторонах угла равные отрезки, и  трапеция. Треугольники и подобны с коэффициентом подобия .

, откуда . .

По формуле Герона: .

Искомая площадь:

Ответ: .

88

Пример 7. Равнобедренная трапеция описана около круга. Боковая сторона трапеции делится точкой касания на отрезки длиной 12 и 48. Найти площадь трапеции. Решение. – точки касания окружности со сторонами соответственно; . Так как трапеция равнобедрен- ная, то – середина , – се- редина Тогда , . Пусть . Тогда . Из прямоугольного треугольника имеем: . . Ответ: 2880

Пример 8. В трапеции с основаниями и биссектриса угла проходит через середину стороны . Известно, что . Найти длину отрезка . Решение. Проведем среднюю линию . . Поэтому, треугольник равнобедренный: . . Тогда .

Пусть . Из прямоугольного треугольника : . Из треугольника по теореме косинусов получим:

89

; .

Ответ: 3. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 1. Радиус окружности, вписанной в ромб, равен 6, периметр

ромба равен 96. Найти в градусах тупой угол ромба. (Ответ: 150)

2. Точки и лежат на окружности. Найти в градусах величину угла , если точка и центр окружности лежат по разные стороны от хорды , а длина хорды равна радиусу окружности. (Ответ: 150)

3. Около круга радиуса 4 описан прямоугольный треугольник

с гипотенузой 26. Найти периметр этого треугольника. (Ответ: 60)

4. Разность длин оснований трапеции равна 14 , длины боко-

вых сторон равны 13 и 15. Вычислить площадь трапеции при условии, что в эту трапецию можно вписать окружность. (Ответ: 168)

5. Из точки , находящейся на расстоянии 5 от центра ок-

ружности радиуса 3 , проведены две секущие и , угол между которыми равен ( и – точки пере-

сечения секущих с окружностью). Найти площадь треуголь-

ника , если площадь треугольника равна 10. (Ответ: 1,6)

6. Высоты треугольника равны 12 , 15 , 20. Найти в градусах больший угол треугольника. (Ответ: ) 7. В окружность радиуса 10 вписан равнобедренный тре-

угольник, у которого сумма длин основания и высоты равна

диаметру окружности. Найти высоту треугольника. (Ответ: 4)

90

8. Окружность радиуса проходит через две смежные вер- шины квадрата. Касательная к окружности, проведенная из третьей вершины квадрата, вдвое больше стороны квадрата. Найти площадь квадрата. (Ответ: 4) 9. В выпуклом равностороннем шестиугольнике углы при вершинах и – прямые. Найти площадь шестиугольника, если его сторона равна .