Нерсисян 7

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра алгоритмической математики

отчет

по домашнему заданию №7

по дисциплине «Вычислительная математика»

Тема: Интерполяционный сплайн: Решение ленточной системы линейных уравнений методом прогонки

Вариант № 61

Студент гр. 8363		Нерсисян А.С.
Преподаватель		Коточигов А.М.

Санкт-Петербург

2020

Выполнение работы

Исходные данные:

Построить периодический интерполяционный сплайн на отрезке

найти коэффициенты ,

проходящий через заданные точки

Решение:

1. Схема получения из , описание (формулы на отрезках разбиения).

Составим с помощью формулы

По рекуррентной формуле найдем и

Соответственно :

Соответственно :

2. Рисунок с графиками (совместно)

Кубический сплайн определяет 3 точки, следовательно, чтобы определить нам потребуется сдвинуть сплайн на точку . В точке кубический сплайн будет равен , следовательно, потребуется сместить сплайн только до точки

Чтобы определить все точки потребуется смещать кубический сплайн с до

( Рисунок графика (со всеми формулами) в более высоком разрешении был отправлен отдельно)

В итоге наша функция F примет вид

При подстановки у нас получится 10 уравнений, а неизвестных 12, следовательно получим два дополнительных уравнения с помощью первой и второй производной.

3. Распечатка матрицы коэффициентов для системы, определяющей неизвестные коэффициенты (10 уравнений, 12 неизвестных).

Матрица коэффициентов для системы уравнений, полученных с помощью сдвигов кубических сплайнов примет следующий вид ( ):

4. Два дополнительных уравнения отвечающих за периодичность

и

Уравнение от первой производной примет вид:

Уравнение от второй производной примет вид:

5. Расширенная матрица коэффициентов ( ).

Матрица коэффициентов системы уравнений с подстановкой имеет вид ( ):

6. Записать основные этапы решения системы методом прогонки.

В матрице коэффициентов системы уравнений рассмотрим подматрицу и применим для нее метод прогонки:

С помощью элементарных преобразований уберем элементы в подматрице, находящиеся под главной диагональю (данные элементы помечены зеленым)

Проделаем несколько элементарных преобразований в матрице ( ), а именно:

1. Из второй строки отнимаем первую строку умноженную на

2. Из третей строки отнимаем вторую строку умноженную на

3. Из четвертой строки отнимаем третью строку умноженную на

Таким образом уберем поддиагональные элементы в подматрице.

После преобразований матрица имеет следующий вид:

Преобразуем подматрицу так, чтобы по диагонали стояли единицы

Далее уберем элементы над главной диагонали в подматрице, путем элементарных преобразований, а после, преобразуем подматрицу к виду единичной матрицы (делим строку на элемент в этой строке, стоящий в главной диагонали подматрицы)

С помощью преобразований поставим на место . Для этого из одиннадцатой строки отнимаем вторую строку умноженную на

Далее поставим на место . Для этого из одиннадцатой строки отнимаем девятую строку умноженную на

Тем же путем обнулим

Теперь выделим в ней подматрицу и решим ее, тем самым найдем и

Составим систему и решим:

Далее постепенно подставляя вместо и их значения получим остальные коэффициенты:

Подставим коэффициенты и “соберем” функцию F

7. Нарисовать график (для получения графика нужно “склеить” его 12 составляющих).

(изображение в высоком разрешении отправлен отдельным файлом)