Вынужденные колебания гармонического осциллятора Консервативныйгармонический осциллятор

Второй закон Ньютонадля такого осциллятора запишется в виде:. Если ввести обозначения:и заменитьускорениена вторуюпроизводнуюот координаты по времени, то получим следующееобыкновенное дифференциальное уравнение:

Решением этого уравнения будет сумма общего решения однородного уравненияичастного решениянеоднородного. Общее решение однородного уравнения было уже полученоздесьи оно имеет вид:

,

где — произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий.

Найдём частное решение. Для этого подставим в уравнение решение вида: и получим значение для константы:

Тогда окончательное решение запишется в виде:

Эффект резонанса для разных частот внешнего воздействия и коэффициентов затухания

Резонанс

Из решения видно, что при частоте вынуждающей силы, равной частоте свободных колебаний, оно не пригодно — возникает резонанс, то есть «неограниченный» линейный рост амплитуды со временем. Из курсаматематического анализаизвестно, что решение в этом случае надо искать в виде:. Подставим этотанзацвдифференциальное уравнениеи получим, что :

Таким образом, колебания в резонансе будут описываться следующим соотношением:

Затухающий гармонический осциллятор

Второй закон Ньютона:

.

Переобозначения:

Дифференциальное уравнение:

Его решение будет строиться, как сумма решений однородного уравненияи частного решениянеоднородного. Анализ однородного уравнения приведёнздесь. Получим и проанализируем частное решение.

Запишем вынуждающую силу следующим образом: , тогда решение будем искать в виде:. Подставим это решение в уравнение и найдём выражение для A:

где

Полное решение имеет вид:

,

где — собственная частота затухающих колебаний.

Константы ив каждом из случаев определяются из начальных условий:

В этом случае, в отличие от осциллятора без трения, амплитуда колебаний в резонансе имеет конечную величину.

Если мы рассмотрим устоявший процесс, то есть ситуацию при , то решение однородного уравнения будет стремиться к нулю и останется только частное решение:

Это означает, что при система «забывает» начальные условия, и характер колебаний зависит только от вынуждающей силы.

Работа, совершаемая вынуждающей силой за время, равна, а мощность. Из уравнения

следует, что

Если учесть, что при установившихся вынужденных колебаниях

то тогда средняя за период мощность:

Работа за период

Вопрос 9. Упругие волны возникают благодаря связям, существующим между частицами среды: перемещение одной частицы от положения равновесия приводит к перемещению соседних частиц. Этот процесс распространяется в пространстве с конечной скоростью.

Уравнение волны

s=A cos[ω(t-x/v)}в общем виде s=f(x,t)

Аргумент при косинусе φ= ω(t-x/v) называется фазой волны

Множество точек, имеющих одновременно одинаковую фазу, называют фронтом волны

Распространение фиксированной фазы колебаний, называют скоростью распространения волны.

Длиной волны называют расстояние между двумя точками, фазы которых в один и тот же момент времени отличаются на 2π

Вопрос 10. Акустика – область физики, исследующая упругие колебания и волны от самых низких частот до предельно высоких.

Тоном называется звук, являющийся периодическим процессом

Шумом называют звук, отличающийся сложной неповторяющейся временной зависимостью

Звуковой удар – кратковременное звуковое воздействие.цццццццццццццццццццццЙ

Характеристики слухового ощущения

1. Высота – субъективная характеристика, обусловленная прежде всего частотой основного тона

В значительно меньшей степени высота зависит от сложности тона и его интенсивности: звук большей интенсивности воспринимается как звук более низкого тона

2. Тембр звука практически полностью определяется спектральным составом

Разные акустические спектры могут соответствовать разному тембру, хотя основной тон и, следовательно, высота тона одинаковы.

3. Громкость еще одна субъективная оценка звука, которая характеризует уровень слухового ощущения

Несмотря на субъективность, громкость может быть оценена количественным путем сравнения слухового ощущения от двух источников.

В основе создания шкалы уровней громкостилежит важный психофизический закон Вебера-Фехнера: если увеличивать раздражения в геометрической прогрессии (т.е. в одинаковое число раз), то ощущение этого раздражения возрастает в арифметической прогрессии (т.е. на одинаковую величину)