Метод Гаусса

Описанные выше методы используют фиксированные точки отрезка (концы и середину) и имеют низкий порядок точности(0 - методы правых и левых прямоугольников, 1 - методы средних прямоугольников и трапеций, 3 - метод парабол (Симпсона)). Если мы можем выбирать точки, в которых мы вычисляем значения функции , то можно при том же количестве вычислений подынтегральной функции получить методы более высокого порядка точности. Так для двух (как в методе трапеций) вычислений значений подынтегральной функции, можно получить метод уже не 1-го, а 3-го порядка точности:

.

В общем случае, используя точек, можно получить метод с порядком точности . Значения узлов метода Гаусса по точкам являются корнямиполинома Лежандрастепени .

Значения узлов метода Гаусса и их весов приводятся в справочниках специальных функций. Наиболее известен метод Гаусса по пяти точкам.

При заданном числе интервалов разбиения следует расположить их концы так, чтобы получить наивысшую точность интегрирования. В математическом плане это означает выбор коэффициентов A_iи узлов t_i, i=1,...,n квадратурных формул Гаусса:

такими, чтобы формулы были точны для многочленов наивысшей возможной степени N. Можно показать, что при n узлах точно интерпретируются все многочлены степени N2n-1.

Узлы t_iявляются корнями многочлена Лежандра:

.

Коэффициенты A_i вычисляются по формуле:

, i=1,...,n.

Погрешность усечения R_n:

, t[-1,1].

Для вычисления интеграла отрезок [a,b] преобразуется в отрезок [-1,1] путем замены переменной:

.

В результате формула Гаусса приобретает вид

,

где ,.

Квадратурная формула Гаусса обеспечивает высокую точность вычислений при небольшом числе узлов.

Метод Монте-Карло

В некоторых случаях из-за особенности подынтегральной функции (например, из-за ее большой сложности, неявном способе задания и т.д.), описанные выше методы нельзя или нецелесообразно использовать. В задачах, не требующих высокой точности, широкое распространение получил метод Монте-Карло.

Проиллюстрируем применение этого метода на примере приближенного вычисления следующего интеграла:

График подынтегрального выражения приведен на рисунке. Очевидно, что точное значение интеграла равно четверти площади круга единичного радиуса.

Построим прямоугольную область, которая будет полностью включать в себя искомый интеграл. В данном случае это будет квадрат с единичным ребром, показанный на рисунке. Далее, с помощью датчика случайных чисел генерируются точки

,

попадающие в эту область. В данном случае абсциссы и ординаты точек должны быть случайными числами, равномерно распределенными на отрезке [0, 1].

Для каждой точки проверяется, попадает ли она в область под или над графиком функции, то есть проверяется условие:

Если условие выполняется, то выбранная точка соответствует «успеху», если нет – то «промаху». Таким образом, процедура может быть описана как игра в «попадание» случайно выбранной точки в область под графиком (отсюда и название метода - Монте-Карло).

Вполне очевидно, что отношение числа «попаданий» (N_усп) к общему числу попыток (N) должно в пределе стремиться к доли площади прямоугольной области (S_пр), которую занимает область под интегрируемой функцией (значение интеграла, I).

Отсюда получается формула метода Монте-Карло:

Для реализации метода существенное значение имеет качество используемого датчика случайных чисел. Идеальный датчик должен давать равномерное распределение чисел в заданном диапазоне. Точность расчета интеграла определяется так же числом точек (N), используемых при вычислениях и, очевидно, должна увеличиваться при его росте.

Метод Монте-Карло широко используется в современных методах моделирования динамики молекулярных систем, взаимодействия растворенного вещества с молекулами растворителя, кинетики адсорбции веществ на твердых поверхностях и т.д.