Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Чувашский государственный университет им И.Н. Ульянова"
Дополнительные главы математики.
Типовой расчет.
Выполнил: ст. гр. МЭЭ-03-13
Нестерин А.А.
Проверила: Картузова Т.В.
Чебоксары 2014 г.
Часть I.
Дано распределение признака X (случайной величины X), полученной по наблюдениям. Необходимо:
-
построить полигон (гистограмму), кумуляту и эмпирическую функцию распределения;
-
найти среднюю арифметическую ; медиану и моду ; дисперсию , среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации ; начальные и центральные моменты - го порядка (); коэффициент асимметрии и эксцесс .
1. X – число сделок на фондовой бирже за квартал; (инвесторов).
Частота |
Частотность ωi= |
Наклон частот |
Накопленная частотность |
|
0 |
146 |
0.3650 |
146 |
0.3650 |
1 |
97 |
0.2425 |
243 |
0.6075 |
2 |
73 |
0.1825 |
316 |
0.7900 |
3 |
34 |
0.0850 |
350 |
0.8750 |
4 |
23 |
0.0575 |
373 |
0.9325 |
5 |
10 |
0.0250 |
383 |
0.9575 |
6 |
6 |
0.0150 |
389 |
0.9725 |
7 |
3 |
0.0075 |
392 |
0.9800 |
8 |
4 |
0.0100 |
396 |
0.9900 |
9 |
2 |
0.0050 |
398 |
0.9950 |
10 |
2 |
0.0050 |
400 |
1.0000 |
Средняя арифметическая вариационного ряда:
Медиана вариационного ряда (значение признака, которое приходится на середину ранжированного ряда): ;
Мода вариационного ряда (варианта, которой соответствует наибольшая частота): ;
Дисперсия вариационного ряда:
Среднее квадратическое отклонение: .
Коэффициент вариации: .
Начальные моменты - го порядка (
Центральные моменты - го порядка (
Коэффициент асимметрии:
Эксцесс
.
2. X – удой коров на молочной ферме за лактационный период (в ц.); (коров).
Интервалы |
Середины интервалов |
Частота |
Частотность ωi= |
Наклон частот |
Накопленная частотность |
4-6 |
5 |
1 |
0.0100 |
1 |
0.0100 |
6-8 |
7 |
3 |
0.0300 |
4 |
0.0400 |
8-10 |
9 |
6 |
0.0600 |
10 |
0.1000 |
10-12 |
11 |
11 |
0.1100 |
21 |
0.2100 |
12-14 |
13 |
15 |
0.1500 |
36 |
0.3600 |
14-16 |
15 |
20 |
0.2000 |
56 |
0.5600 |
16-18 |
17 |
14 |
0.1400 |
70 |
0.7000 |
18-20 |
19 |
12 |
0.1200 |
82 |
0.8200 |
20-22 |
21 |
10 |
0.1000 |
92 |
0.9200 |
22-24 |
23 |
6 |
0.0600 |
98 |
0.9800 |
24-26 |
25 |
2 |
0.0200 |
100 |
1.0000 |
Среднее арифметическое вариационного ряда:
Медиана вариационного ряда (определим по кумуляте):
Моду определим по гистограмме:
Дисперсия:
Среднее квадратическое отклонение:
Коэффициент вариации:
Начальные моменты - го порядка (
Центральные моменты - го порядка ( :
Коэффициент асимметрии:
Эксцесс:
3. По выборкам объемом и найдены средние размеры деталей соответственно и мм. Установлено, что размер детали, изготовленный каждым автоматом, имеет нормальный закон распределения. Известны дисперсии и для первого и второго автоматов. На уровне значимости выявить влияние на средний размер детали автомата, на котором она изготовлена. Рассмотреть два случая: а) ; б) .
Нулевая гипотеза
При справедливости статистика рассчитывается следующим образом:
а) в данном случае средний размер детали зависит от выбора автомата - двусторонняя критическая область по таблице II (Значения функции Лапласа) находим значение
Получим: .
Нулевая гипотеза отвергается, значит средний размер детали зависит от выбора автомата.
б) в данном случае влияние второго автомата больше) - односторонняя критическая область по таблице II (Значения функции Лапласа) находим значение
Получим: .
Нулевая гипотеза отвергается, значит влияние второго автомата больше.
4. Имеются следующие данные о качестве детского питания, изготовленного различными фирмами (в баллах): 40, 39, 42 ,37, 38, 43, 45, 41, 48. Есть основание полагать, что показатель качества продукции последней фирмы зарегистрирован неверно. Является ли это значение аномальным (резко выделяющимся) на 5% уровне значимости?
;
Нулевая гипотеза (т.е значение принадлежит к остальным наблюдениям).
Значение исключаем, а для остальных найдем среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонение ():
Рассчитаем значение статистики, имеющий распределение Стьюдента
По таблице IV (Значения - критерия Стьюдента) находим
Получили: .
Нулевая гипотеза отвергается, т.о. значение является аномальным.
5. Вступительный экзамен проводился на двух факультетах института. На экономическом факультет из абитуриентов выдержали экзамен человек, а на финансово-кредитном из абитуриентов - . На уровне значимости проверить гипотезу об отсутствии существенных различий в уровне подготовки абитуриентов двух факультетов. Рассмотреть два случая: а); б).
Нулевая гипотеза: (т.е. уровни подготовки абитуриентов одинаковы)
Найдем выборочные доли и
Рассчитаем выборочную долю признака:
Рассчитаем значение статистики:
а) (уровни подготовки абитуриентов отличаются) – одностороння критическая область:
По таблице II (значения функции Лапласа):
Получили: .
Нулевая гипотеза принимается, т.е. полученные данные не противоречат гипотезе об одинаковом уровне подготовки абитуриентов.
б) (уровень подготовки абитуриентов экономического факультета лучше уровня подготовки студентов финансово - кредитного) – одностороння критическая область:
По таблице II (значения функции Лапласа):
Получили:
Нулевая гипотеза отвергается, т.е. полученные данные противоречат гипотезе о лучшем уровне подготовки абитуриентов экономического факультета.
6. На уровне значимости 0.05 проверить гипотезу о нормальном законе распределения признака (случайной величины) , используя критерий согласия: а) – Пирсона; б) Колмогорова (по данным таблицы задания 2).
; из задания 2 имеем ; n=100;
Интервалы |
Частота |
Вероятность |
Теоретические частоты |
||
4-6 |
1 |
0.01 |
1 |
0 |
0 |
6-8 |
3 |
0.027 |
2.7 |
0.0900 |
0.0333 |
8-10 |
6 |
0.058 |
5.8 |
0.0400 |
0.0069 |
10-12 |
11 |
0.105 |
10.5 |
0.2500 |
0.0238 |
12-14 |
15 |
0.153 |
15.3 |
0.0900 |
0.0059 |
14-16 |
20 |
0.18 |
18 |
4.0000 |
0.2222 |
16-18 |
14 |
0.173 |
17.3 |
10.8900 |
0.6295 |
18-20 |
12 |
0.135 |
13.5 |
2.2500 |
0.1667 |
20-22 |
10 |
0.086 |
8.6 |
1.9600 |
0.2279 |
22-24 |
6 |
0.044 |
4.4 |
2.5600 |
0.5818 |
24-26 |
2 |
0.019 |
1.9 |
0.0100 |
0.0053 |
Нулевая гипотеза - случайная величина распределена нормально
а) Критерий согласия Пирсона ():
Рассчитываем вероятности :
По данным примера 2 имеем .
Рассчитаем значения вероятностей. Значения Ф(х) находим по таблице II (значения функции Лапласа):
Все остальные значения вероятностей рассчитываются подобным образом. Найдем последнее из них:
Определим меру расхождения эмпирических и теоретических частот:
Число степеней свободы:
где - число интервалов эмпирического распределения
- число параметров теории распределения
По таблице V (значения критерия Пирсона) находим:
Получили:
Т.о. гипотеза о выбранном теоретическом нормальном законе распределения согласуется с опытными данными.
б) Критерий согласия Колмогорова:
Частота |
Накопленная частотность |
|||||
6 |
1 |
0.0100 |
-2.2024 |
-0.9566 |
0.0217 |
0.0039 |
8 |
3 |
0.0400 |
-1.7436 |
-0.9181 |
0.0409 |
0.0009 |
10 |
6 |
0.1000 |
-1.2847 |
-0.7984 |
0.1008 |
0.0014 |
12 |
11 |
0.2100 |
-0.8259 |
-0.5935 |
0.2032 |
0.0068 |
14 |
15 |
0.3600 |
-0.3671 |
-0.2886 |
0.3557 |
0.0043 |
16 |
20 |
0.5600 |
0.0918 |
0.0717 |
0.5359 |
0.0241 |
18 |
14 |
0.7000 |
0.5506 |
0.4245 |
0.7123 |
0.0088 |
20 |
12 |
0.8200 |
1.0094 |
0.6827 |
0.8414 |
0.0238 |
22 |
10 |
0.9200 |
1.4683 |
0.8584 |
0.9292 |
0.0092 |
24 |
6 |
0.9800 |
1.9271 |
0.9464 |
0.9732 |
0.0064 |
26 |
2 |
1.0000 |
2.3859 |
0.9832 |
0.9916 |
0.0084 |
Значения это накопленные частости (они соответствуют значениям полученным в задании 2).
Для построения в случае нормального закона воспользуемся формулой:
Получим:
При и :
Получили:
Т.о. гипотеза о выбранном теоретическом нормальном законе распределения согласуется с опытными данными.