Задание 3. Кинематический анализ многозвенного механизма

Положение многозвенного шарнирного плоского механизма, состоящего из треугольной пластины ABC, звеньевO₁A,O₂B,CD, соединенных друг с другом и с неподвижными опорамиO₁иO₂шарнирами и ползунаD, определяется координатами его узлов в координатной плоскостиxOy.

Точка O₁ расположена в начале координат, а координаты точекA, B, C,DиO₂приведены в табл. 5. Угол α между направляющей ползуна и положительным направлением осиOx, закон изменения угловой скорости ведущего звенаO₁Aи момент времениt_1,соответствующий данному положению механизма, заданы в табл. 6. Определите для заданного положения механизма:

1. скорости точек A, B, C, D и угловые скорости всех его звеньев;

2. ускорения точек A,B и угловое ускорение звенаAB.

Указания к выполнению задания

Вначале, в соответствии с номером своего варианта, необходимо изобразить рисунок многозвенного механизма. Затем определить значение и направление скорости точкиAв соответствии с направлением угловой скорости звенаO₁A. Скорость точкиВможно найти, используя теорему о проекциях скоростей двух точек твердого тела (т.е., рис. 10) или через мгновенный центр скоростей телаАВС.

Необходимо помнить, что каждое звено в данный момент времени имеет свой МЦС и свою угловую скорость. Например, у телаABCМЦС является геометрическая точкаP₁, а МЦС звенаCDбудет другая геометрическая точка –Р₂. Положение точекР₁иР₂следует определить аналитически. Так, для нахождения точкиР₁достаточно записать уравнения прямыхO₁A,O₂B(они являются перпендикулярами к векторам скоростейи) и найти их общее решение. Для нахождения же точкиP₂(МЦС звенаCD) нужно записать уравнение прямойCP₁и прямой, перпендикулярной направляющим ползунаD.

Таблица 5

Варианты задания 3

Вари- ант	Координаты точек, см
		A	B	C	D
1	(10; 0)	(4; 0)	(7; 5)	(5; 5)	(10; 8)
2	(10; 0)	(5; 0)	(5; 3)	(3; 7)	(8; 4)
3	(10; 0)	(5; 0)	(5; 5)	(0; 3)	(3; 8)
4	(10; 0)	(7; 0)	(13; 5)	(7; 8)	(3; 4)
5	(10; 0)	(5; 3)	(7; 5)	(6; 0)	(1; -3)
6	(10; 0)	(5; 3)	(10; 3)	(8; 6)	(0; 3)
7	(10; 0)	(5; 3)	(5; 0)	(8; 3)	(5; 8)
8	(10; 0)	(5; 3)	(7; 5)	(7; 0)	(4; -3)
9	(10; 3)	(5; 3)	(5; 6)	(0; 6)	(5; 9)
10	(10; 3)	(4; 4)	(7; 0)	(7; 5)	(0; 9)
11	(10; 3)	(4; 4)	(5; 0)	(8; 4)	(0; 8)
12	(10; 5)	(3; 5)	(7; 8)	(5; 2)	(10; 0)
13	(10; 5)	(3; 5)	(7; 2)	(6; 9)	(0; 5)
14	(10; 5)	(5; 3)	(7; 5)	(5; 7)	(10; 10)
15	(10; 5)	(3; 3)	(9; 3)	(7; 6)	(2; 9)
16	(7; 10)	(5; 3)	(10; 5)	(5; 0)	(10; 0)
17	(7; 10)	(4; 4)	(7; 5)	(3; 8)	(0; 5)
18	(7; 10)	(3; 5)	(2; 10)	(7; 5)	(5; 0)
19	(7; 10)	(0; 6)	(4; 5)	(4; 2)	(10; 5)
20	(5; 8)	(5; 3)	(4; 6)	(10; 8)	(11; 3)
21	(5; 8)	(4; 4)	(10; 5)	(4; 0)	(8; 0)
22	(5; 8)	(3; 5)	(0; 10)	(8; 2)	(10; 4)
23	(5; 8)	(7; 0)	(2; 5)	(7; 3)	(10; 6)
24	(0; 10)	(5; 3)	(0; 6)	(10; 6)	(5; 10)
25	(0; 10)	(6; 0)	(0; 6)	(6; 6)	(10; 10)
26	(0; 10)	(3; 3)	(5; 7)	(7; 1)	(10; 3)
27	(0; 10)	(3; 5)	(3; 10)	(5; 3)	(10; 0)
28	(2; 5)	(3; 0)	(4; 10)	(6; 5)	(9; 2)
29	(2; 5)	(3; 3)	(7; 5)	(7; 0)	(9; 8)
30	(2; 5)	(0; 4)	(7; 3)	(3; 0)	(8; 0)

Для справки:

1. Расстояние между точками А(x_A; y_A) и В(x_B; y_B):

;

Таблица 6

Данные к заданию 3

Группа		t1, c	(t), с-1	k(t)
1	10˚	1
2	40˚	12
3	70˚	13
4	100˚	12
5	130˚	1
6	160˚	12

2. Уравнение прямой, проходящей через точки А(x_A ; y_A) и В(x_B ; y_B):

.

3. Определение точки пересечения двух прямых, заданных уравнениями и :

, .

4. Угол между двумя прямыми и :

.

5. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку D(x_{D ;} y_D), перпендикулярно прямой :

.

6. Расстояние от точки P(x_P ; y_P) до прямой :

.

Для нахождения ускорения точки Bи углового ускорения звенаABнеобходимо сделать новый рисунок, начертив на нем только те звенья механизма, которым принадлежат узлыАиВ (рис. 10).

Теорему об ускорениях точек плоской фигуры необходимо записать в виде

.

Если это равенство спроецировать на две оси x'иy', одна из которых направлена вдольАВ, а другая ей перпендикулярна, то получим два алгебраических уравнения для нахождения и :

;

.

Длины векторов , , и , если они отличны от нуля, находятся по формулам

;;

;.

Рис. 10

Решив полученную систему уравнений относительно и , можно найти

;;.

Пример

Дано:O₁ (0;0),O₂ (11;3),А (3;0),В (9;6),С (5;4),D (2;8),α = 90˚, с,

.

Определить:

1. скорости точек A, B, Cи D;

2. угловые скорости , , ;

3. угловое ускорение и ускорения точекA и B.

Решение

1. Строим положение механизма в соответствии с координатами шарниров и направляющим угломползунаD(рис. 11,a). Найдём длины стержней многозвенного механизма, см:

O₁A = 3;;.

а б

Рис. 11

2. Определяем скорости точек звеньев механизма (A,B,C,D). При с угловая скорость с^-1. Скорость точкиAв заданный момент времени, смс: , причём вектор и направлен в сторону поворота стержня(рис. 11,б). Направление скорости определим, учитывая, что точкаВпринадлежит стержню , вращающемуся вокруг , следовательно, . Для нахождения значений скоростей точекВиСпостроим МЦС пластиныABC – точкуР₁, лежащую на пересечении перпендикуляров к и , проведенных соответственно из точекАиВ. КоординатыP₁(13;0), необходимо определить геометрически, найдя точку пересечения прямыхО₁А иВО₂на чертеже (рис. 11,б), и аналитически как пересечение двух прямыхAP₁иBP₁. По направлению вектора определяем направление мгновенного поворота пластиныABCвокругР₁. Векторы и перпендикулярны отрезкам P₁ВиP₁С, соединяющим точкиВ иСс точкой P₁, и направлены в сторону поворота пластиныABC.Значенияи , смс, найдем из пропорции

,

вычислив расстояния, см:

P₁A =10,P₁B =иP₁С=:

; ;

с ^-1;с ^-1.

Аналогичным образом определяем направление и значение скорости ползуна D. С учетом того, что вектор направлен параллельно направляющим ползуна, находим МСЦ стержняCD: точкаР₂ (-3;8) находится на пересечении перпендикуляров к направлениям скоростей и , то есть прямойP₁C и прямой, проходящей через точкуDперпендикулярно направляющей ползуна. Угловая скорость стержняCD

,

где отрезки P₂C иP₂D, см, несложно найти по известным координатам их концов:

P₂C=;P₂D = 5.

Отсюда значения скорости точки D, смс, и угловой скорости звенаCD, с^-1:

;.

3. Определяем ускорения , . Вначале найдем . Для этого вычислим угловое ускорение звенаO₁A, с^-2:

.

Отрицательное значение алгебраического углового ускорения указывает на то, что вектор имеет направление, противоположное .

Далее находим касательное, нормальное и полное ускорения точки А, смс²:

; ;

.

Для определения ускорения точки Взапишем теорему об ускорениях точек плоской фигуры

.

Длины векторов, смс², определяем по формулам

;;

;.

Предполагая , положительными, изобразим на рис. 12 эти векторы. Спроецируем векторное равенство на оси и , первая из которых направлена вдольAB, а другая ей перпендикулярна. Получим два алгебраических уравнения для нахождения и , смс²:

;

.

Определим значения углов и , град:

; ,

где . Отсюда .

Далее, разрешая систему уравнений, найдем:

;с ^-2,

;с ^–2,

после чего можно найти .

Ответ:

1) см/с,см/с; см/с; см/с;

2) с^-1, c^-1, c^-1;

3) c^-2;

4) см/с²; см/с².