Моделирование обмоток электрических аппаратов

Обмотки являются составной частью всех электромагнитов. Проходящий по обмотке управления (ОУ) ток создает магнитодвижущую силу (МДС), необходимую для возбуждения магнитного потока. Величина требуемой МДС определяется из расчета магнитной цепи.

Задача расчета ОУ заключается в том, чтобы получить такие обмоточные данные (диаметр провода d, число витков W и сопротивление обмотки R), которые при заданном напряжении или токе обеспечивают необходимую МДС. При этом обмоточные данные и габариты ОУ выбираются таким образом, чтобы в процессе работы температура ОУ  не превышала допустимого значения _доп: .

Превышение  температуры  ОУ над температурой окружающей среды ₀ рассчитывается по формуле Ньютона:

, (1)

где Р - мощность тепловых потерь, Вт; k_т - коэффициент теплоотдачи, Вт/(м²С); S – площадь поверхности охлаждения, м². Мощность тепловых потерь для случая постоянного тока

,

где I, U и R – ток, напряжение и сопротивление ОУ.

Расчет минимальных размеров обмотки управления

Минимальные размеры ОУ находятся из условия допустимого нагрева обмоточного провода по формуле:

(2)

где U_max, U_min- максимальное и минимальное значения напряжения питания, В; F – магнитодвижущая сила ОУ, А; ρ_гор - удельное сопротивление материала провода ОУ в нагретом состоянии, Омм; n - коэффициент перегрузки по мощности; _доп=(_доп-₀) - допустимое превышение температуры ОУ, С; k_з - коэффициент заполнения обмоточного провода; Q - обмоточное окно, м²; l_ср - средняя длина витков ОУ. Данное выражение получается путем преобразования формулы Ньютона (1). Левая часть (2) характеризует мощность, выделяющуюся в ОУ; правая часть – теплоотдающую способность ОУ. Она называется геометрическим показателем обмотки управления и зависит только от геометрических размеров обмотки.

Все применяемые на практике ОУ катушек электрических аппаратов могут быть сведены к расчетной модели, представленной на рис.1, где l и h - длина и толщина ОУ. Внутренние размеры ОУ а, b и r определяются поперечным сечением магнитопровода, конструкцией каркаса и являются известными.

Величины, входящие в левую часть выражения (2), кроме коэффициента k_т, также известны.

Рис. 1. Расчетная модель обмотки управления

Коэффициент теплоотдачи зависит от температуры  и наружной площади охлаждаемой поверхности S_н:

для 10^-4 м²  S_н  10^-2 м²

, Вт/(м²С), (3)

для 10^-2 м²  S_н  0,5 м²

, Вт/(м²С). (4)

Правая часть выражения (2) называется геометрическим параметром ОУ. Величины Q, S_охл и l_ср являются функциями от длины l и толщины h ОУ.

Обмоточное окно ОУ

. (5)

Эквивалентная поверхность охлаждения ОУ

, (6)

где S_н, S_вн, S_т - площади наружной, внутренней и торцовой поверхностей охлаждения ОУ; _вн=k_т,вн/k_т, _т=k_т,т/k_т, где k_т, k_т,вн, k_т,т, - коэффициенты теплоотдачи с наружной, внутренней и торцовой поверхностей ОУ. Коэффициенты приведения внутренней и торцовых поверхностей к наружной поверхности _вн, _т (коэффициенты эффективности теплоотдачи с внутренней и торцовых поверхностей) являются опытными данными. Вообще, расчет коэффициента теплоотдачи не только с внутренней и торцовой поверхностей, но и с наружной, представляет большие трудности. На практике пользуются эмпирическими данными значений _вн. При этом этот коэффициент косвенно учитывает также и теплоотдачу с торцовых поверхностей ОУ (т.е. в этом случае _т=0). Согласно литературным данным [4,8] он составляет для:

- катушек на пластмассовом каркасе - _вн=0;

- бескаркасных бандажированных катушек - _вн=0,9;

- для катушек на тонких каркасах из бакелизированной

бумаги, картона, пластмассы - _вн=1;

- катушек намотанных на металлической гильзе - _вн=1,7;

- катушек намотанных на сердечнике - _вн=2,4.

В соответствии с рис.1

При расчете размеров обмотки электромагнитов постоянного тока обычно задаются соотношением k_l =l/h=4...8. С учетом этого и площадь поверхности охлаждения обмотки на основании (6) равна:

или

(7)

Средняя длина витков ОУ

. (8)

Для катушек круглого или квадратного сечений при значениях _вн=1 и _т=0 геометрический показатель обмотки управления, т.е. правая часть уравнения (2), на основании выражений (5) - (8) равен

Отсюда, пренебрегая зависимостью коэффициента теплоотдачи от толщины обмотки управления и принимая его значение в пределах (9..14) Вт/(м²С), из (2) можно находить приближенное значение толщины обмотки управления:

. (9)

В общем случае входящие в выражение (2) величины k_т, Q, S_охл и l_ср являются функциями от h: k_т(h), Q(h), S_охл(h)и l_ср(h). С учетом этого, толщину ОУ h можно определить решением следующего нелинейного уравнения, получаемого на основании (2):

(10)

В выражении (3) или (4) при вычислении k_т(h) вместо  берется допустимая температура нагрева _доп для обмоточного провода.

Решение уравнения (10) дает минимально допустимый размер ОУ исходя из допустимой температуры нагрева. Для решения уравнения (10) надо задаться либо начальным приближением толщины ОУ h₀ по формуле (9) или же допустимым интервалом изменения h=0..h_max. В первом случае уравнение может решаться методом Ньютона или итераций. Во-втором случае можно решать методом половинного деления или хорд.

Примечание: рекомендуется решать методом половинного деления.

Алгоритм расчета минимальной толщины ОУ методом Ньютона представлен на рис. 2.