Вопрос 18. Основные теоремы статики.

Пусть дана произвольная система сил (F₁, F₂,..., F_n). Сумму этих сил F=åF_k называют главным вектором системы сил. Сумму моментов сил относительно какого-либо полюса называют главным моментом рассматриваемой системы сил относительно этого полюса.

Осн теор статики (теорема Пуансо): Всякую пространственную систему сил в общем случае можно заменить эквивалентной системой, состоящей из одной силы, прило­женной в какой-либо точке тела (центре приведения) и равной глав­ному вектору данной системы сил, и одной пары сил, момент которой равен главному моменту всех сил относительно выбранного центра приведения. Пусть О — центр приведения, принимаемый за начало коорди­нат, r₁,r₂, r₃,…, r_n–соответствующие радиусы-векторы точек приложения сил F₁, F₂, F₃, ...,F_n, составляющих данную систему сил (рис. 4.2, а). Перенесем силы F₁, F_a, F₃, ..., F_n в точку О. Сложим эти силы как сходящиеся; получим одну силу: F_о=F₁+F₂+…+F_n=åF_k, которая равна главному вектору (рис. 4.2, б). Но при последователь­ном переносе сил F₁, F₂,..., F_n в точку О мы получаем каждый раз соответствующую пару сил (F₁, F”₁), (F₂,F”₂),...,(F_n, F"_n).Моменты этих пар соответственно равны моментам данных сил относительно точки О: М₁=М(F₁,F”₁)=r₁ x F₁=М_о(F₁), М₂=М(F₂, F”₂)=r₂ x F₂=М_о(F₂), …, М_п=М(F_n, F"_n)=r_n x F_n=М_о(F_n). На основании правила приведения системы пар к простейшему виду все указанные пары можно заменить одной парой. Ее момент равен сумме моментов всех сил системы относительно точки О, т. е. равен главному моменту, так как согласно формулам (3.18) и (4.1) имеем (рис. 4.2, в) М₀=М₁+М₂+...+М_n=М_о(F₁)+М_о(F₂)+…+ М_о(F_n)==åМ_о(F_k)=år_k x F_k. Систему сил, как угодно расположенных в пространстве, можно в произвольно выбранном центре приведения заменить силой F_o=åF_k(4.2) и парой сил с моментом M₀=åM₀(F_k)=år_k x F_k. (4.3). В технике очень часто проще задать не силу или пару, а их моменты. Например, в характеристику электромотора входит не сила, с которой статор действует на ротор, а вращающий момент.

ЛИБО ДРУГОЙ ВАРИАНТ ОТВЕТА:

Лемма. Не изменяя действия силы на твердое тело, ее можно переносить параллельно самой себе в любую точку тела, добавляя при этом пару, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения.

Доказательство.  Пусть  к  телу  в  точке    приложена  сила      (рис. 4.1). Добавим в точке    уравновешенную систему сил:   ,   .  Тогда  ,  но  − пара сил с моментом . 

Пусть на твердое тело действует произвольная система сил. Введем определения.

Главным вектором системы сил называется геометрическая сумма всех сил системы

.

  Главный вектор определяется своими проекциями на оси координат: 

Главным моментом  системы сил относительно данного центра называется сумма моментов всех сил системы относительно этого центра:

.Главный момент определяется своими проекциями на оси координат: , ,        , 

 .

Теорема Пуансо. Произвольную систему сил, действующую на твердое тело, можно заменить эквивалентной системой, состоящей из силы и пары сил. Сила равна главному вектору системы сил и приложена в произвольно выбранной точке (центре приведения), момент пары равен главному моменту системы сил относительно этой точки.

 

Доказательство. Пусть точка  − центр приведения. Пользуясь доказанной леммой,  перенесем силу  в точку , добавляя при этом пару с моментом  (рис. 4.2):  , .   Аналогично перенесем в точку  остальные силы. В результате получим систему сходящихся в точке  сил (рис. 4.3)  ,   и систему пар сил с моментами    , .  По теореме о существовании равнодействующей системы сходящихся  сил их можно заменить одной силой ,  равной главному вектору. Систему пар по теореме о сложении пар можно заменить одной парой, момент которой равен главному моменту (рис. 4.4)          .

 

 Из основной теоремы статики вытекает условие равновесия произвольной пространственной системы сил.

Для равновесия произвольной пространственной системы сил, приложенной к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент системы равнялись нулю:

,            .

Проектируя эти равенства на оси координат, получаем условие равновесия в аналитической форме.

Для равновесия произвольной пространственной системы сил, приложенной к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на три координатные оси и суммы моментов всех сил относительно этих осей были равны нулю:

 

,

,