Вопрос 5. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела.

Теорема: проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны друг другу.

Рассмотрим какие-нибудь две точки А и В плоской фигуры (или тела). Принимая точку А за полюс, получаем v_B=v_A+v_BA.. Отсюда, проектируя обе части равенства на ось, направленную по АВ, и учитывая, что вектор v_BA перпендикулярен АВ, находим

v_B cos β=v_A cos α,

и теорема доказана.

Вопрос 6. Поступательное движение твердого тела.

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной своему первоначальному направлению. Свойства поступательного движения определяются следующей теоремой: при поступательном движении все точки тела описывают одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения. Для доказательства рассмотрим твердое тело, которое движется поступательно. Возьмем в теле две точки А и В, положение которых определяется радиусами-векторами r_A и r_B; проведем вектор АВ, соединяющий эти точки. Тогда

r_B =r_A +AB.

При этом длина АВ постоянна. Вследствие этого, траектория точки В получается из траектории точки А параллельным смещением всех ее точек на постоянный вектор АВ. Значит, траектории точек А и В будут одинаковыми кривыми. Для нахождения скоростей точек А и В продифференцируем обе части равенства по времени:

dr_B/dt=dr_A/dt + d(AB)/dt.

Т. к. производная от постоянного вектора АВ равна нулю, а производные от векторов r_A, r_B равны скоростям этих точек, получим

v_A=v_B.

Т. е. скорости и ускорения (как производные от скорости) точек А и В тела в любой момент времени одинаковы по модулю и по направлению. Скорости и ускорения движущегося тела образуют векторные поля, которые при поступательном движении будут однородными и нестационарными. Поэтому поступательное движение можно свести к рассмотрению какой-нибудь одной точки этого тела.

Вопрос 7. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое движение, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно с ним связанные), остаются во все время движения неподвижными. Проходящая через неподвижные точки прямая называется осью вращения. Положение тела определяется углом поворота φ, который будет положительным при повороте тела против часовой стрелки и отрицательным – по часовой стрелке. Измеряется угол в радианах. Закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси выражается формулой φ=f(t). Характеристиками вращательного движения являются угловая скорость ω и угловое ускорение ε. Числовое значение угловой скорости тела в данный момент времени равно первой производной от угла поворота по времени ω=dφ/dt или ω=φ. Размерность угловой скорости {ω}=с^-1. Угловое ускорение характеризует изменение с течением времени угловой скорости тела. Числовое значение углового ускорения тела в данный момент времени равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела по времени ε=dω/dt=d²φ/dt² или ε=ω=φ. Размерность углового ускорения {ε}=с^-2.