Примеры выполнения обязательных заданий
Задание 1. Вычислить определенные интегралы.
Примеры
|
а) |
Представим заданный интеграл в виде суммы интегралов. | |
|
= |
Вносим
под знак дифференциала в первом
во
втором
| |
|
= |
Находим первообразные (см. таблицу в теме 6), подставляем в них пределы по формуле Ньютона-Лейбница. | |
|
= = |
Учитываем,
что
| |
=
=
,
.
=
=
.
,
(см.
приложение).
|
а)
|
Заметим, что в числителе | |
|
= |
подынтегральной функции стоит производная знаменателя и внесем ее под знак дифференциала. Получаем
степенной интеграл,
По
формуле Ньютона-Лейбница подставляем
пределы интегрирования, причем
| |
|
|
Окончательный ответ. | |
=
=
.
,
(см.
приложение).
.
|
б)
|
Подобные интегралы вычисляются методом замены переменной, а именно - рекомендуемой | ||
|
|
тригонометрической подстановкой (см. тему 6, таблица рекомендуемых тригонометрических подстановок). - обязательно изменить пределы интегрирования. | ||
|
= |
Производим упрощение полученных выражений. | ||
|
= |
Вычисляем тригонометрический интеграл с помощью соответствующих формул. | ||
|
= |
Подставляем пределы,
| ||
=
;
.
=
=
.
,
.
Задание 2. Вычислить площади фигур, ограниченных указанными линиями. Сделать чертеж области, площадь которой вычисляется.
Пример
|
|
Построим заданную область. | |
|
|
При
| |
|
Всеми тремя заданными линиями ограничена заштрихованная область. Составляем формулу для вычисления площади: | ||
|
|
Каждый интеграл вычислим по отдельности. | |
|
|
Площадь
прямоугольника под прямой
| |
|
|
Вычисление интеграла по частям, см. тему 6, методы интегрирования. | |
|
= =
|
Упрощаем первообразную и подставляем пределы интегрирования.
| |
,
при
- крайние точки. В общем вид линии
подобен виду линии
.
;
.
=
=
-
Если бы область
была задана линиями :
,
то следовало бы вычислять
.
Задание 4. Исследовать несобственные интегралы на сходимость по признаку сравнения и вычислить.
Примеры
|
|
Несобственный
интеграл 1-го рода. Для вычисления
вносим под знак дифференциала:
| ||||
|
= |
По определению НИ-1. | ||||
|
= |
Учитывая,
что
| ||||
|
|
Исследуем
интеграл на сходимость по признаку
сравнения. Определим функцию,
эквивалентную подынтегральной при
| ||||
|
Применялось выделение главной части в бесконечно больших величинах. Сравниваем со специальной функцией для НИ-1. | |||||
|
|
НИ-1 сходится. | ||||
=
.
=
и
получаем в пределе число (const).
Значит, НИ-1сходится.
.
;
|
|
Несобственный
интеграл 2-го рода. Подынтегральная
функция имеет разрыв в точке
| |||
|
в ней
знаменатель обращается в ноль. Для
вычисления выделяем полный квадрат:
| ||||
|
= |
По определению НИ-2. | |||
|
|
Подставляем пределы интегрирования и вычисляем предел. | |||
|
|
Получаем в пределе число (const). Значит, НИ-2 сходится. | |||
|
Исследуем
интеграл на сходимость по признаку
сравнения. Определим функцию,
эквивалентную подынтегральной при
| ||||
|
|
Найдем корни и разложим квадратный трехчлен по корням. | |||
|
|
Применялось правило, позволяющее заменять сомножители, не стремящиеся к нулю соответствующими числами. | |||
|
|
Сравниваем со специальной функцией для НИ-2, имеющих разрыв подынтегральной функции на верхнем пределе. НИ-2 сходится. | |||
,
и учитываем, что
.
.
.
;
- Обратите внимание! Выделение полного квадрата может привести кразличнымтабличным интегралам. Также часто встречается ошибка, когда не учитывается знак минус:
Знак минус нельзявыносить из-под квадратного корня!
Сравним два интеграла с одинаковыми подынтегральными функциями, но различными пределами.
|
НИ-1 |
НИ-2 |
Для вычисления интегралы разбиваются на сумму интегралов. | |
|
|
| ||
|
= |
= | ||
|
НИ-1
расходится,
потому что
|
НИ-2
расходится,
потому что
|
| |
|
Исследование на сходимость по признаку сходимости. | |||
|
|
|
Обратите внимание, на то, что при исследовании сравнение – с одинаковыми функциями, но смысл разный. | |
|
|
т.к. точка
разрыва
| ||
,
а остальные пределы конечны.
,
а остальные пределы конечны.
;
НИ-1расходится.
;
;
НИ-2расходится.