Примеры
|
Выделение полного квадрата: | |
Внесение под знак дифференциала: |
|
Рассмотрите самостоятельно, чем пример 1 отличается от примера 2. |
|
Выделение полного квадрата: . |
. |
|
Сравните с предыдущим. |
Неопределенные интегралы № 6 вычисляются с помощью рекомендованных тригонометрических подстановок, замен переменной (см. таблицу таких подстановок в теоретической части).
ПРИМЕРЫ
|
Замена переменной. Учтем, что . | ||
Интегралы от четных степеней синуса и косинуса – по формулам понижения степени (см. теорию). | |||
Переходим к старой переменной. |
|
Делаем замену переменной и учитываем, что | ||
. | |||
При внесении под знак дифференциала: получаем степенной интеграл, после его вычисления переходим к старой переменной:. |
,
Неопределенные интегралы №№ 7, 8 представляют собой интегралы от рациональных дробей. В теоретической части приведена схема интегрирования, которой следует придерживаться при выполнении задания.
Схема интегрирования рациональной дроби
Правильная или неправильная дробь?
Неправильная. |
Правильная. |
Выделить целую часть, т.е. представить дробь как сумму многочлена и правильной рациональной дроби. |
|
,Примеры
|
Рациональная дробь под знаком интеграла правильная, так как ,. | ||||
Разложим знаменатель по корням: , корни квадратного трехчлена . |
Дробь несократима, так как числитель не обращается в ноль ни при одном из корней знаменателя (). Проверяется устно, например . | ||||
Представим рациональную дробь как сумму элементарных дробей. В разложении только дроби типов (а) и (б), т.к. в знаменателе нет комплексных корней. | |||||
Приведем элементарные дроби к общему знаменателю и приравняем числители исходной дроби и суммы элементарных. | |||||
Для определения коэффициентов разложения сначала используем 1 способ. Подставим в равенство поочередно действительные корни знаменателя. Сразу получены три коэффициента. | |||||
Для определения В используем 2 способ. Требуется только одно уравнение, поэтому приравняем коэффициенты при наибольшей степени х : . | |||||
Представим в виде суммы интегралов и вычислим каждый. | |||||
Внесение под знак дифференциала | |||||
Используем свойства логарифмов. | |||||
|
|
Рациональная дробь под знаком интеграла правильная, так как ,. | |||||
Знаменатель разложен по корням, причем имеет два действительных корня и два комплексно-сопряженных. |
Дробь несократима, так как числитель не обращается в ноль ни при одном из корней знаменателя. | |||||
Представим рациональную дробь как сумму элементарных дробей. В разложении дроби типов (а), (б) и (в) т.к. в знаменателе есть комплексные корни. | ||||||
Приведем элементарные дроби к общему знаменателю и приравняем числители исходной дроби и суммы элементарных дробей. | ||||||
Для определения коэффициентов разложения сначала используем 1 способ. Подставим в равенство поочередно действительные корни знаменателя. Сразу получены два коэффициента. | ||||||
|
Для определения В,С используем 2 способ. Требуются два уравнения, приравняем коэффициенты при наибольших степенях х: и. Для этого раскроем скобки в равенстве числителей. | |||||
= |
Подставим найденные коэффициенты, представим в виде суммы интегралов. | |||||
Для второго интеграла: , для последнего. | ||||||
|
|
Рациональная дробь под знаком интеграла правильная, так как ,.Знаменатель разложен по корням, дробь несократимая. | |
|
Представим в виде суммы элементарных дробей. | |
|
Приведем элементарные дроби к общему знаменателю и приравняем числители исходной дроби и суммы элементарных дробей. | |
Подставим в равенство поочередно действительные корни знаменателя. Сразу получены два коэффициента. | ||
|
Раскроем скобки в равенстве числителей, чтобы сравнить коэффициенты при одинаковых степенях х. | |
Требуются два уравнения, приравняем коэффициенты при наибольших степенях х: и. | ||
Подставим найденные коэффициенты, представим в виде суммы интегралов. | ||
|