Вычисление пределов, сводящихся ко второму замечательному пределу.

Как определить, что предел сводится к виду второго замечательного предела? Такие пределы всегда имеют неопределенное выражение вида . Чтобы проверить, существует ли такая неопределенность, как и во всех предыдущих примерах, предельное значение переменной подставляют в функцию. Здесь мы столкнемся с использованием техники вычисления пределов из-го раздела, где выделялась главная часть числителя и знаменателя рациональной дроби. В связи с этим напомним, что главной частью многочлена при является слагаемое в наибольшей степени, а при- в наименьшей степени (причем свободный член отсутствует)..

Например: .

Здесь выделена главная часть числителя и знаменателя рациональной дроби. Очевидно, что показатель степени стремится к бесконечности, и в конечном счете этот предел определяется бесконечностью.

Если же то, такой предел сводится к неопределенности второго замечательного предела.

Анализ выражения, стоящего под знаком второго замечательного предела, показывает, что его конструкция такова - к единице прибавляется бесконечно малая величина , и эта сумма возводится в степень, равную обратной величине прибавляемой бесконечно малой, т.е.или. Если в таком примере к основанию степени прибавить и отнять единицу, то выражение не изменится, но мы сможем определить вид прибавляемой бесконечно малой величины.

,  ПРИМЕРЫ

	Прибавим и вычтем единицу в основании данной функции (выражение в скобках), таким образом, она будет выделена.
=	Два последних слагаемых приведем к общему знаменателю.
==	Очевидно, величина , т.е. является БМ. Выделим главные части многочленов при:.
=	Теперь предел приведен к виду второго замечательного предела, в котором .

 =	Выделим единицу в основании и используем эквивалентность БМ величин.
==
===		Можно ввести новую переменную, чтобы показать, что предел приведен к виду второго замечательного предела. Здесь . 

Задание 2. Исследовать функции на непрерывность и классифицировать точки разрыва.

 

 Пример

 Функция f(x) , заданная условно-функциональным соотношением

определена на всей числовой оси, а ее составляющие, как функции, непрерывны на заданных интервалах. Однако в точках х = 0 и изменяется аналитическое задание функции. Поэтому точких = 0 и − возможные точки разрыва непрерывности.

Исследуем на разрыв точку х = 0. Находим

Получаем b₁ = b₂ и односторонние пределы в этой точке конечны и равны между собой. В точке х = х₀ разрыв 1-го рода, устранимый. Устранить разрыв можно, доопределив функцию в точке разрыва. Пусть у(0) = 0, тогда в т. х₀=0 функция будет непрерывной.

Исследуем на разрыв точку Находим левосторонний и правосторонний пределы:

В итоге b₁  b₂ , односторонние пределы конечны, но не равны между собой. В т. существует разрыв 1-го рода, конечный скачок. Величина скачка

 

 Пример



Преобразуем знаменатель функции в произведение, определив корни квадратного трехчлена

Тогда Функция не определена в точкахх = 3 и х = -1.

Исследуем на разрыв точку х = 3. Находим односторонние пределы

Можно сделать вывод, что в точке х=3 имеется разрыв 2-го рода.

Исследуем на разрыв точку х = -1.

Так как пределы стремятся к , то в точке х = -1 также имеется разрыв 2-го рода. 

 

 ПРИМЕР

• Заданна функция . Функция определена на всей числовой оси, кроме точких = -1. Исследуем функцию на разрыв в этой точке. Найдем пределы функции слева и справа

Так как левосторонний предел функции бесконечен, то в точке х = -1 существует разрыв непрерывности 2-го рода.



Задание 3. Сумма первоначального вклада составляет А денежных единиц. Процентная ставка q процентов годовых.

1) Найти наращенное значение вклада на конец n-го года отдельно для вклада под простые проценты и под сложные.

2) Найти наращенное значение вклада при ежеквартальном, ежемесячном и непрерывном начислениях сложных процентов в конце n-го года. Сравнить результаты, сделать вывод.

3) По основной формуле начисления сложных процентов и по формуле непрерывного начисления процентов рассчитать :

• за сколько лет произойдет увеличение первоначального вклада в 1.5 раза;

• какой должна быть годовая процентная ставка, чтобы за n лет вклад увеличился в 1.5 раза;

• сумму первоначального вклада (дисконтированную сумму), которую необходимо вложить для получения в конце n-го года в 1.5 большей суммы.

 