,, Примеры
|
|
| ||
|
= |
можно произвести замену эквивалентными БМ величинами. | ||
|
= |
После
сокращения на
| ||
|
|
Аналогично предыдущему примеру применим замену эквивалентными БМ. | ||
|
|
После
сокращения на
| ||
,
при
,
т.е. являются бесконечно малыми
величинами, поэтому
получаем ответ.
=
неопределенность раскрыта.
|
|
|
|
|
Замена эквивалентными БМ показана в прямых скобках. |
|
|
После
сокращения на
|
=
неопределенность раскрыта.
|
|
В этом примере выражение, стоящее в числителе, нельзя заменить эквивалентной БМ величиной. | ||
|
= |
Для
получения табличной эквивалентности
можно вынести за скобки
| ||
|
= |
Теперь
замена эквивалентными БМ приведена
в прямых скобках. По свойствам
логарифмов:
| ||
|
= |
После
сокращения на
| ||
.
.
неопределенность раскрыта.
|
|
В этом примере также нельзя сразу применить эквивалентность БМ величин. Поэтому в числителе |
|
= |
разность косинусов преобразуем в произведение по известной тригонометрической формуле :
|
|
|
Теперь можно применить известные табличные эквивалентности БМ. |
|
|
Замена эквивалентными БМ показана в прямых скобках.. |
|
|
После
сокращения на
|
=
,
а в знаменателе прибавим и вычтем
единицу.
=
неопределенность раскрыта.Замечание к примерам ,. Существует и другой способ получения табличной эквивалентности БМ величин, подобных тем, что приведены в этих примерах. Так, в случае разности двух показательных функций можно прибавить и вычесть единицу
Преобразование последнего выражения даст следующий результат:
,
что совпадает с полученным ранее.
Аналогичное замечание можно сделать и для разности косинусов:
=
Таким
образом,
,
что также совпадает с полученным ранее
результатом.
Вычисление пределов способом замены переменной.
Если
условием вычисления предела является
не
,
а
,
гдеа –
некоторая
константа (а
≠
0), для
получения табличных соотношений
эквивалентности бывает полезным заменить
переменную предела на такую, которая
стремилась бы к нулю. Например:
,
или
.
Замену переменных будем записывать в
фигурных скобках.
ПРИМЕРЫ
|
|
Несмотря
на то, что
| |||
|
= |
Замена переменной показана в фигурных скобках. Записывая предел относительно переменной z, вынесем за скобки общий множитель 16 | |||
|
= |
в
числителе и используем формулы
приведения в знаменателе, по которым
| |||
|
= |
Теперь
можно произвести замену эквивалентными
БМ, сократить на
| |||
,
замену произвести нельзя, так как
аргумент синуса не является БМ
величиной:
!
=
.
,
и получить ответ.
|
|
Аналогично предыдущему примеру применим замену переменной так, чтобы новая переменная была БМ. Но можно заметить, что аргумент тангенса, стоящего в знаменателе, и при | |||
|
= |
старой
переменной является БМ величиной:
| |||
|
= |
Замена переменной показана в фигурных скобках. | |||
|
= | ||||
|
= |
После
алгебраических преобразований
аргумента логарифма в нем выделена
единица и БМ величина:
| |||
|
= |
Можно заменить логарифм эквивалентной БМ величиной. После сокращения неопределенность раскрыта. | |||
|
= |
| |||
поэтому
возможно применить замену эквивалентной
БМ. Здесь также разложена разность
квадратов в знаменателе.
=
при
.
=
|
| ||
|
= |
Вводится замена переменной (в фигурных скобках). Замена эквивалентными БМ показана в прямых скобках. | |
|
= | ||
|
= |
После сокращения неопределенность раскрыта. | |
=
=
|
|
Еще раз обратитесь к пояснению в примере .Здесь также сначала следует ввести новую переменную. | ||
|
= | |||
|
= |
По формулам приведения :
| ||
|
= |
Теперь используем соотношения эквивалентности БМ величин. После сокращения | ||
|
= |
неопределенность раскрыта. | ||
=
,