5.3 Поиск минимума методом Ньютона

Для метода Ньютона нужно задать начальное приближение из условия

, иначе процесс сходимости не гарантирован.

Если , то и .

Если , то и .

Следовательно, в качестве начального приближения следует выбрать точку .

1) Находим первое приближение по формуле

;

Так как , то требуется второе приближение.

2) Находим второе приближение по формуле

Так как , то требуется третье приближение.

3) Находим третье приближение по формуле

Так как , то процесс последовательных приближений можно считать законченным и значение принять за точку минимума.

Итак, ; число приближений .

Ниже приведены расчеты нахождения минимума функции методом Ньютона, выполненные с помощью компьютерной программы.

Заметим, что в случае выбора за начальное приближение точки , процесс все же сойдется, но за большее число приближений.

Результаты всех расчетов сведем в таблицу

№	Название метода поиска	Число приближений	Точка минимума
1	Метод дихотомии	12	(0,69; -22,04)
2	Метод «золотого сечения»	8	(0,68; -22,04)
3	Метод Ньютона	3	(0,69; -22,04)

Выводы: При поиске минимума функции на отрезке

самым быстрым оказался метод Ньютона (4 приближения).

6 Лабораторная работа №6. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методами Эйлера, модифицированного метода Эйлера с пересчетом, Рунге-Кутты.

Задание.

Методами Эйлера, модифицированным методом Эйлера с пересчетом и методом Рунге-Кутты 4-го порядка найти частное решение обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка вида , с начальным условием , на интервале с шагом .

Решение.

6.1 Найдем сначала точное решение дифференциального уравнения .

Это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки . Тогда и уравнение примет вид Разделяя переменные, получим

Частное решение при начальном условии :

Итак, точное решение имеет вид: .

Протабулируем полученное решение на интервале с шагом и результаты расчетов сведем в таблицу 6.1

Таблица 6.1 Результаты табулирования функции

6.2 Решение дифференциального уравнения методом Эйлера.

Итерационная формула метода Эйлера для дифференциального уравнения имеет вид: .

У нас ; ; ; .

Результаты расчетов сведены в таблицу 6.2

Номер точки n
0	0,0	1,00	0,0+1,00=1,00
1	0,1	1,10	0,1+1,10=1,20
2	0,2	1,22	0,2+1,22=1,42
3	0,3	1,36	0,3+1,36=1,66
4	0,4	1,53	0,4+1,53=1,93
5	0,5	1,72

6.3 Решение дифференциального уравнения модифицированным методом Эйлера с пересчетом.

Итерационная формула модифицированного метода Эйлера с пересчетом для дифференциального уравнения имеет вид:

, где

Результаты расчетов сведены в таблицу 6.3

№ точки n
0	0,0	1,00	0,0+1,00=1,00
1	0,1	1,11	0,1+1,11=1,21
2	0,2	1,24	0,2+1,24=1,44
3	0,3	1,40	0,3+1,40=1,70
4	0,4	1,58	0,4+1,58=1,98
5	0,5	1,79

6.4 Решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутты 4-го порядка.

Итерационная формула модифицированного метода Эйлера с пересчетом для дифференциального уравнения имеет вид:

       где

Результаты расчетов сведены в таблицу 6.4

Номер точки n
0	0,0	1,00	0+1=1
1	0,1	1,11	0,1+1,11=1,21
2	0,2	1,24	0,2+1,24=1,44
3	0,3	1,40	0,3+1,4=1,7
4	0,4	1,58	0,4+1,58=1,98
5	0,5	1,79