2 Лабораторная работа №2. Численные методы дифференцирования функции одной переменной. Формулы Стирлинга

Задание. С помощью формулы Стирлинга найти численные значения первой и второй производной функции в двух точках и , в которых функция имеет разную кривизну. Исследовать зависимость относительной погрешности нахождения производных от масштаба вариации в формуле Стирлинга.

Решение.

График функции приведен на рисунке 2.1

Рисунок 2.1 График функции

Выберем две точки и , в которых функция имеет разную кривизну, и вычислим точные значения первой и второй производной функции в этих точках:

Вычислим значения первой и второй производной функции в точках и по формулам Стирлинга (3.14) (смотри теоретический материал)

Относительную погрешность определения первой и второй производных в выбранных точках и определяем по формулам

,

.

Вычисления вручную в точке при масштабе вариации .

Остальные вычисления проведем с помощью пакета компьютерных программ, задаваясь рядом значений масштаба вариации .

Результаты расчетов сведем в таблицы 2.1 и 2.2.

Таблица 2.1 Результаты расчетов в точке ,,

Масштаб вариации m	0,20	0,10	0,05	0,02	0,01
	5,96	5,84	5,81	5,802	5,8
	2,759	0,69	0,172	0,028	0,007
	12,88	12,82	12,805	12,801	12,8
	0,625	0,156	0,039	0,006	0,002

Таблица 2.1 Результаты расчетов в точке , ,

Масштаб вариации m	0,20	0,10	0,05	0,02	0,01
	26,701	26,001	25,826	25,777	25,77
	3,621	0,905	0,226	0,036	0,009
	39,939	39,745	39,696	39,683	39,681
	0,653	0,163	0,041	0,007	0,002

По результатам расчетов построим графики зависимости относительной погрешности расчета производных от масштаба вариации.

Рисунок 2.2 Зависимость относительной погрешности расчета первой

производной в % от масштаба вариации m в точке x1=1,0

Рисунок 2.3 Зависимость относительной погрешности расчета второй

производной в % от масштаба вариации m в точке x1=1.0

Рисунок 2.4 Зависимость относительной погрешности расчета первой

производной в % от масштаба вариации m в точке x2=1.8

Рисунок 2.5 Зависимость относительной погрешности расчета второй

производной в % от масштаба вариации m в точке x2=1,8

Выводы: уже при масштабе вариации погрешность вычисления производных не превышает 0,1%.