Министерство образования и науки Российской Федерации
ГОУ ВО
«УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ОТЧЕТ
По лабораторной работе №5
На тему :«Численные методы поиска экстремума функций одной переменной. Методы дихотомии, «золотого сечения», Ньютона.»
Вариант 9
Отчет сдал ___Корнаухова_Д.А_____
Ст.гр_____БТПп-16-01________
Отчет принял______ _Юлдыбаев Л.Х.._____
Уфа 2017
Задание.
С точностью
найти глобальный минимум функции одной
переменной
методами дихотомии, «золотого сечения»
и Ньютона. Значения границ интервала
поиска
задать из условия унимодальности функции
в области глобального минимума (определить
визуально, нарисовав для этого график
функции).Сделать выводы о скорости
сходимости рассмотренных методов
минимизации функции.
Решение.
График функции
имеет вид:
5.1 Поиск минимума методом дихотомии
1)
Первые два приближения возьмем на
расстоянии
от середины выбранного отрезка
:
;
.
Так
как
,
то нужно выполнить следующее приближение.
Значения функции в этих точках
;
Так
как
,
то правый отрезок
отбрасываем, т.е. считаем, что минимум
функции находится на отрезке
.
Итак,
перед второй итерацией считаем, что
.
2)
Вторые два приближения возьмем на
расстоянии
от середины отрезка
:
.
Так
как
,
то нужно выполнить следующее приближение.
Значения функции в этих точках
Так
как
,
то левый отрезок
отбрасываем, т.е. считаем, что минимум
функции находится на отрезке
.
Итак,
перед третьей итерацией считаем, что
.
3)
Третьи два приближения возьмем на
расстоянии
от середины отрезка
:
;
.
Так
как
,
то нужно выполнить следующее приближение.
Значения функции в этих точках
Итак,
;
число приближений
.
Ниже приведены расчеты нахождения минимума функции методом дихотомии, выполненные с помощью компьютерной программы.
5.2 Поиск минимума методом «золотого сечения»
1) Находим первые два приближения по формулам:
,
где
-
пропорция «золотого сечения».
Для
отрезка
имеем
Так
как
и
,
то правый отрезок
отбрасываем и считаем, что
,
а
не меняется.
Так
как
,
то нужно выполнить следующее приближение.
2)
Теперь по правилу «золотого сечения»
делим отрезок
,
причем точка
уже находится внутри этого отрезка, а
точку
ищем
как точку, симметричную точке
относительно середины отрезка
,
т.е. по формуле
Так
как
,
а
,
то левый отрезок
отбрасываем и считаем, что
,
а
не меняется.
Так
как
,
то нужно выполнить следующее приближение.
3)
Теперь по правилу «золотого сечения»
делим отрезок
,
причем точка
уже находится внутри этого отрезка, а
точку
ищем
как точку, симметричную точке
относительно середины отрезка
,
т.е. по формуле
Итак,
;
число приближений
.
Ниже приведены расчеты нахождения минимума функции методом «золотого сечения», выполненные с помощью компьютерной программы.
5.3 Поиск минимума методом Ньютона
Для
метода Ньютона нужно задать начальное
приближение
из условия
, иначе процесс
сходимости не гарантирован.
Если
,
то
и
.
Если
,
то
и
.
Следовательно,в
качестве начального приближения следует
выбрать
.
1) Находим первое приближение по формуле
;
Так
как
,
то требуется второе приближение.
2) Находим второе приближение по формуле
Так
как
,
то требуется третье приближение.
3) Находим третье приближение по формуле
Итак,
;
число приближений
.
Ниже приведены расчеты нахождения минимума функции методом Ньютона, выполненные с помощью компьютерной программы.
Результаты всех расчетов сведем в таблицу:
|
№ |
Название метода поиска |
Число приближений |
Точка минимума |
|
1 |
Метод дихотомии |
12 |
(1.98; -4.6) |
|
2 |
Метод «золотого сечения» |
7 |
(1.98; -4.6) |
|
3 |
Метод Ньютона |
4 |
(2; -4.6) |
Выводы:
При поиске минимума функции
на отрезке
самым быстрым оказался метод Ньютона
(4 приближения).