Министерство образования и науки Российской Федерации
ГОУ ВО
«УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ОТЧЕТ
По Лабораторной работе №6.
На тему :« Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методами Эйлера, модифицированного метода Эйлера с пересчетом, Рунге-Кутты.»
Вариант 9
Отчет сдал ___Корнаухова_Д.А_____
Ст.гр_____БТПп-16-01________
Отчет принял______ _Юлдыбаев Л.Х.._____
Уфа 2017
Задание.
Методами
Эйлера, модифицированным методом Эйлера
с пересчетом и методом Рунге-Кутты 4-го
порядка найти частное решение обыкновенного
дифференциального уравнения 1-го порядка
вида
,
с начальным условием
,
на интервале
с шагом
.
Решение.
6.1
Найдем сначала точное решение
дифференциального уравнения
.
Это
уравнение сводится к уравнению с
разделяющимися переменными с помощью
подстановки
.
Тогда
и
уравнение примет вид
Разделяя
переменные, получим
Частное
решение при начальном условии
:
Итак,
точное решение имеет вид:
.
Протабулируем
полученное решение
на
интервале
с
шагом
и
результаты расчетов сведем в таблицу
6.1
1.250
1.308
1.3513
Таблица
6.1 Результаты табулирования функции
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.2
Решение дифференциального уравнения
методом
Эйлера.
Итерационная
формула метода Эйлера для дифференциального
уравнения
имеет
вид:
.
У
нас
;
;
;
.
Результаты расчетов сведены в таблицу 6.2
|
Номер точки n |
|
|
|
|
|
0 |
0,0 |
1,00 |
1-0=1,00 |
|
|
1 |
0,1 |
1,10 |
1,1-0.2=0,90 |
|
|
2 |
0,2 |
1,19 |
1.19-0.4=0,79 |
|
|
3 |
0,3 |
1,27 |
1.269-0.6=0,669 |
|
|
4 |
0,4 |
1,34 |
1.3359-0.8=0,536 |
|
|
5 |
0,5 |
1,39 |
|
|
6.3
Решение дифференциального уравнения
модифицированным методом Эйлера с
пересчетом.
Итерационная
формула модифицированного метода Эйлера
с пересчетом для дифференциального
уравнения
имеет
вид:
,
где
Результаты расчетов сведены в таблицу 6.3
|
№ точки n |
|
|
|
|
|
|
0 |
0,0 |
1,00 |
1-0=1,00 |
|
|
|
1 |
0,1 |
1,095 |
1,095-0.2=0,895 |
|
|
|
2 |
0,2 |
1,179 |
1.1792-0.4=0,779 |
|
|
|
3 |
0,3 |
1,25 |
1.2516-0.6=0,652 |
|
|
|
4 |
0,4 |
1,311 |
1.3109-0.8=0.511 |
|
|
|
5 |
0,5 |
1,41 |
|
|
|
6.4
Решение дифференциального уравнения
методом
Рунге-Кутты 4-го порядка.
Итерационная
формула модифицированного метода Эйлера
с пересчетом для дифференциального
уравнения
имеет
вид:
где
Результаты расчетов сведены в таблицу 6.4
|
Номер точки n |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0,0 |
1,00 |
1-0=1,00 |
1+0.1*1/2-0-2*(0.1)/2=0.95 |
|
0.1*0.948-0.1+1=0.9948 |
1+0.1/6*(1+2*0.95+2*0.948+0.9948)=1.09 |
|
1 |
0,1 |
1,09 |
1,095-0.2=0,895 |
0.1*0.895/2+1.09-2(0.1+0.1/2)=1.135-0.3=0.835 |
0.1*0.835/2+1.09-2(0.1+0.1/2)=1.132-0.3=0.832 |
1.09+0.832*0.1-2(0.1+0.1)=1.17-0.4=0.77 |
1.09+0.1/6*(0.895+1.67+1.664+0.77)=1.178 |
|
2 |
0,2 |
1,178 |
1.179-0.4=0,78 |
1.178+0.1*0.78/2-2(0.2+0.05)=1.217-0.5=0.717 |
1.178+0.1*0.717/2-2(0.2+0.05)=0.714 |
1.178+0.1*0.714-2(0.2+0.1)=1.249-0.6=0.649 |
1.178+0.1/6*(0.78+1.434+1.428+0.649)=1.25 |
|
3 |
0,3 |
1,25 |
1.252-0.6=0,65 |
1.25+0.1*0.65/2-2(0.3+0.05)=1.283-0.7=0.583 |
1.25+0.1*0.583/2-2(0.3+0.05)=1.279-0.7=0.579 |
1.25+0.1*0.579-2(0.3+0.1)=1.3-0.8=0.508 |
1.25+0.1/6*(0.65+2*0.583+2*0.579+0.508)=1.308 |
|
4 |
0,4 |
1,308 |
1.311-0.8=0.51 |
1.308+0.1*0.51/2-2(0.4+0.05)=1.334-0.9=0.4335 |
1.308+0.1*434/2-2(0.4+0.05)=1.329-0.9=0.429 |
1.308+0.1*0.429-2(0.4+0.1)=0.35 |
1.308+0.1/6*(0.51+2*0.434+2*0.429+0.35)=1.35 |
|
5 |
0,5 |
1,35 |
|
|
|
|
|
6.5 Решение с помощью программного комплекса «ЧМРИЗ».
Выводы: наиболее точным среди рассмотренных численных методов
решения дифференциального уравнения является метод Рунге-Кутты.