mmt-14
.pdf
Средняя скорость молекул
Используем распределение Максвелла для вычисления средней скорости молекул. В единице объёма газа имеется dn молекул с скоростями от v до v + dv:
dn = nf (v)dv
Чтобы найти среднюю скорость, нужно вычислить интеграл:
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
mv2 |
|
||
1 |
Z |
|
|
|
4 |
|
m |
|
3/2 |
Z v3 exp |
− |
|
|||||||||||
hvi = |
|
vnf (v)dv = |
√ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
n |
|
2kT |
|
|
2kT |
||||||||||||||||||
π |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3e−αx |
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2α2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
hvi = r |
|
πm |
= s |
|
πµ |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8kT |
|
|
|
|
8RT |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функции
распределения.
Кинетическая теория газов
Барометрическая
формула
Определение
Перреном
постоянной
Авогадро
Функция
распределения
Максвелла
Вычисление характеристических скоростей
Средняя
=скорость молекул Среднеквадратичн скорость молекул
Наиболее
вероятная
скорость
Экспериментальная
проверка
распределения
Максвелла
Эффективный диаметр молекул
25/37
Средняя скорость молекул
Используем распределение Максвелла для вычисления средней скорости молекул. В единице объёма газа имеется dn молекул с скоростями от v до v + dv:
dn = nf (v)dv
Чтобы найти среднюю скорость, нужно вычислить интеграл:
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
mv2 |
|
||
1 |
Z |
|
|
|
4 |
|
m |
|
3/2 |
Z v3 exp |
− |
|
|||||||||||
hvi = |
|
vnf (v)dv = |
√ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
n |
|
2kT |
|
|
2kT |
||||||||||||||||||
π |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3e−αx |
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2α2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
hvi = r |
|
πm |
= s |
|
πµ |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8kT |
|
|
|
|
8RT |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функции
распределения.
Кинетическая теория газов
Барометрическая
формула
Определение
Перреном
постоянной
Авогадро
Функция
распределения
Максвелла
Вычисление характеристических скоростей
Средняя
=скорость молекул Среднеквадратичн скорость молекул
Наиболее
вероятная
скорость
Экспериментальная
проверка
распределения
Максвелла
Эффективный диаметр молекул
25/37
Среднеквадратичная скорость молекул
Так как кинетическая энергия равна mv2/2, то вычислив среднее значение квадрата скорости молекул, мы сможем найти их среднюю кинетическую энергию.
Вычисляем по аналогии
∞
v2 = n1 Z
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
4 |
|
m |
|
3/2 |
Z |
||
v2nf (v)dv = |
√ |
|
|
|
|||
|
2kT |
|
|||||
π |
|
||||||
v4 exp −mv2 2kT
0 |
|
|
|
0 |
||||||
|
∞ |
|
2 |
|
|
3√π |
||||
Z0 |
x4e−αx dx = |
|
|
|
|
|
||||
8α5/2 |
||||||||||
|
|
|
3kT |
|
|
RT |
|
|||
|
v2 = |
|
= |
3 |
|
|
|
|
||
m |
µ |
|
|
|
|
|||||
Отсюда получаем уже известную формулу для средней кинетической энергии:
hEпостi = |
3kT m |
= |
3 |
kT |
||
|
|
|
|
|||
m 2 |
2 |
|||||
Функции
распределения.
Кинетическая теория газов
Барометрическая
формула
Определение
Перреном
постоянной
Авогадро
Функция =распределения Максвелла
Вычисление характеристических скоростей
Средняя скорость молекул
Среднеквадратичн скорость молекул
Наиболее
вероятная
скорость
Экспериментальная
проверка
распределения
Максвелла
Эффективный диаметр молекул
26/37
Среднеквадратичная скорость молекул
Так как кинетическая энергия равна mv2/2, то вычислив среднее значение квадрата скорости молекул, мы сможем найти их среднюю кинетическую энергию.
Вычисляем по аналогии
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
mv2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
m |
3/2 |
Z |
v4 exp − |
|
||||||||||
v2 |
|
= |
|
Z v2nf (v)dv = |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
n |
|
|
|
|
2kT |
2kT |
||||||||||||||||||||
π |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
∞ |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3√π |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Z0 |
x4e−αx dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
8α5/2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3kT |
|
|
|
|
|
|
RT |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
v2 = |
|
= |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
m |
µ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Отсюда получаем уже известную формулу для средней |
|
|||||||||||||||||||||||||
кинетической энергии: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
hEпостi = |
3kT m |
= |
3 |
kT |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
m |
2 |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
Функции
распределения.
Кинетическая теория газов
Барометрическая
формула
Определение
Перреном
постоянной
Авогадро
Функция =распределения Максвелла
Вычисление характеристических скоростей
Средняя скорость молекул
Среднеквадратичн скорость молекул
Наиболее
вероятная
скорость
Экспериментальная
проверка
распределения
Максвелла
Эффективный диаметр молекул
26/37
Среднеквадратичная скорость молекул
Так как кинетическая энергия равна mv2/2, то вычислив среднее значение квадрата скорости молекул, мы сможем найти их среднюю кинетическую энергию.
Вычисляем по аналогии
∞
v2 = n1 Z
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
4 |
|
m |
|
3/2 |
Z |
||
v2nf (v)dv = |
√ |
|
|
|
|||
|
2kT |
|
|||||
π |
|
||||||
v4 exp −mv2 2kT
0 |
|
|
|
0 |
||||||
|
∞ |
|
2 |
|
|
3√π |
||||
Z0 |
x4e−αx dx = |
|
|
|
|
|
||||
8α5/2 |
||||||||||
|
|
|
3kT |
|
|
RT |
|
|||
|
v2 = |
|
= |
3 |
|
|
|
|
||
m |
µ |
|
|
|
|
|||||
Отсюда получаем уже известную формулу для средней кинетической энергии:
hEпостi = |
3kT m |
= |
3 |
kT |
||
|
|
|
|
|||
m 2 |
2 |
|||||
Функции
распределения.
Кинетическая теория газов
Барометрическая
формула
Определение
Перреном
постоянной
Авогадро
Функция =распределения Максвелла
Вычисление характеристических скоростей
Средняя скорость молекул
Среднеквадратичн скорость молекул
Наиболее
вероятная
скорость
Экспериментальная
проверка
распределения
Максвелла
Эффективный диаметр молекул
26/37
Среднеквадратичная скорость молекул
Так как кинетическая энергия равна mv2/2, то вычислив среднее значение квадрата скорости молекул, мы сможем найти их среднюю кинетическую энергию.
Вычисляем по аналогии
∞
v2 = n1 Z
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
4 |
|
m |
|
3/2 |
Z |
||
v2nf (v)dv = |
√ |
|
|
|
|||
|
2kT |
|
|||||
π |
|
||||||
v4 exp −mv2 2kT
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|||||
|
∞ |
|
2 |
|
|
3√π |
|||||
Z0 |
x4e−αx dx = |
|
|
|
|
|
|||||
8α5/2 |
|||||||||||
|
|
|
|
kT |
|
3RT |
|
||||
|
v2 |
= |
3 |
= |
|
|
|
|
|
||
m |
µ |
|
|
|
|
||||||
Отсюда получаем уже известную формулу для средней кинетической энергии:
hEпостi = |
3kT m |
= |
3 |
kT |
||
|
|
|
|
|||
m 2 |
2 |
|||||
Функции
распределения.
Кинетическая теория газов
Барометрическая
формула
Определение
Перреном
постоянной
Авогадро
Функция =распределения Максвелла
Вычисление характеристических скоростей
Средняя скорость молекул
Среднеквадратичн скорость молекул
Наиболее
вероятная
скорость
Экспериментальная
проверка
распределения
Максвелла
Эффективный диаметр молекул
26/37
Среднеквадратичная скорость молекул
Так как кинетическая энергия равна mv2/2, то вычислив среднее значение квадрата скорости молекул, мы сможем найти их среднюю кинетическую энергию.
Вычисляем по аналогии
∞
v2 = n1 Z
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
4 |
|
m |
|
3/2 |
Z |
||
v2nf (v)dv = |
√ |
|
|
|
|||
|
2kT |
|
|||||
π |
|
||||||
v4 exp −mv2 2kT
0 |
|
|
|
0 |
||||||
|
∞ |
|
2 |
|
|
3√π |
||||
Z0 |
x4e−αx dx = |
|
|
|
|
|
||||
8α5/2 |
||||||||||
|
|
|
3kT |
|
|
RT |
|
|||
|
v2 = |
|
= |
3 |
|
|
|
|
||
m |
µ |
|
|
|
|
|||||
Отсюда получаем уже известную формулу для средней кинетической энергии:
hEпостi = |
3kT m |
= |
3 |
kT |
||
|
|
|
|
|||
m 2 |
2 |
|||||
Функции
распределения.
Кинетическая теория газов
Барометрическая
формула
Определение
Перреном
постоянной
Авогадро
Функция =распределения Максвелла
Вычисление характеристических скоростей
Средняя скорость молекул
Среднеквадратичн скорость молекул
Наиболее
вероятная
скорость
Экспериментальная
проверка
распределения
Максвелла
Эффективный диаметр молекул
26/37
Среднеквадратичная скорость молекул
Так как кинетическая энергия равна mv2/2, то вычислив среднее значение квадрата скорости молекул, мы сможем найти их среднюю кинетическую энергию.
Вычисляем по аналогии
∞
v2 = n1 Z
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
4 |
|
m |
|
3/2 |
Z |
||
v2nf (v)dv = |
√ |
|
|
|
|||
|
2kT |
|
|||||
π |
|
||||||
v4 exp −mv2 2kT
0 |
|
|
|
0 |
||||||
|
∞ |
|
2 |
|
|
3√π |
||||
Z0 |
x4e−αx dx = |
|
|
|
|
|
||||
8α5/2 |
||||||||||
|
|
|
3kT |
|
|
RT |
|
|||
|
v2 = |
|
= |
3 |
|
|
|
|
||
m |
µ |
|
|
|
|
|||||
Отсюда получаем уже известную формулу для средней кинетической энергии:
hEпостi = |
3kT m |
= |
3 |
kT |
||
|
|
|
|
|||
m 2 |
2 |
|||||
Функции
распределения.
Кинетическая теория газов
Барометрическая
формула
Определение
Перреном
постоянной
Авогадро
Функция =распределения Максвелла
Вычисление характеристических скоростей
Средняя скорость молекул
Среднеквадратичн скорость молекул
Наиболее
вероятная
скорость
Экспериментальная
проверка
распределения
Максвелла
Эффективный диаметр молекул
26/37
Наиболее вероятная скорость
Наиболее вероятную скорость vнв можно найти из уравнения:
df (v) |
4 |
|
|
|
|
m |
|
3/2 |
|
|
|
mv2 |
|
||||||||||||
|
= 0, f (v) = √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 exp − |
|
|
|||||||||||
dv |
2kT |
|
|
2kT |
|||||||||||||||||||||
π |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
d |
|
|
|
|
|
mv2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
v2 exp |
− |
|
|
= |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
dv |
2kT |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
mv2 |
|
|
|
|
2mv |
|
|
|
|
mv2 |
|
|
||||||||||
= 2v exp − |
|
− v2 |
|
|
|
|
exp |
− |
|
= |
|||||||||||||||
2kT |
|
2kT |
2kT |
||||||||||||||||||||||
|
= 2v exp − |
mv2 |
1 − |
mv2 |
= 0 |
|
|
||||||||||||||||||
|
2kT |
|
2kT |
|
|
|
|||||||||||||||||||
Функции
распределения.
Кинетическая теория газов
Барометрическая
формула
Определение
Перреном
постоянной
Авогадро
Функция
распределения
Максвелла
Вычисление характеристических скоростей
Средняя скорость молекул
Среднеквадратичн скорость молекул
Наиболее
вероятная
скорость
Экспериментальная
проверка
распределения
Максвелла
Эффективный диаметр молекул
27/37
Наиболее вероятная скорость
Наиболее вероятную скорость vнв можно найти из уравнения:
(v) |
4 |
|
|
|
|
m |
|
3/2 |
|
|
|
mv2 |
|
||||||||||||
df |
= 0, f (v) = √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 exp − |
|
|
|||||||||||
dv |
2kT |
|
|
2kT |
|||||||||||||||||||||
π |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
d |
|
|
|
|
|
mv2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
v2 exp |
− |
|
|
= |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
dv |
2kT |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
mv2 |
|
|
|
|
2mv |
|
|
|
|
mv2 |
|
|
||||||||||
= 2v exp − |
|
− v2 |
|
|
|
|
exp |
− |
|
= |
|||||||||||||||
2kT |
|
2kT |
2kT |
||||||||||||||||||||||
|
= 2v exp − |
mv2 |
1 − |
mv2 |
= 0 |
|
|
||||||||||||||||||
|
2kT |
|
2kT |
|
|
|
|||||||||||||||||||
Функции
распределения.
Кинетическая теория газов
Барометрическая
формула
Определение
Перреном
постоянной
Авогадро
Функция
распределения
Максвелла
Вычисление характеристических скоростей
Средняя скорость молекул
Среднеквадратичн скорость молекул
Наиболее
вероятная
скорость
Экспериментальная
проверка
распределения
Максвелла
Эффективный диаметр молекул
27/37