mmt-11

Минимальная и максимальная амплитуда колебаний

Из формулы для амплитуды

a2 = a21 + a22 + 2a1a2 cos(α2 − α2)

следует, что когда α1 = α2 колебания происходят синфазно (в фазе).

Амплитуда результирующего колебания в этом случае максимальна,

a = aмакс = a1 + a2

Если α2 = α1 + π, то колебания происходят в противофазе. Амплитуда результирующих колебаний в этом случае минимальна

a = aмин = |a1 − a2|

Гармонические

колебания

Энергия

гармонических

колебаний

Векторная

диаграмма

Сложение

гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

Векторная диаграмма для суммы колебаний

Формула для амплитуды

Формула для фазы

Минимальная и максимальная амплитуда колебаний

Биения

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Фигуры Лиссажу

Определение

Снова рассмотрим случай, когда колебания происходят в одном направлении. Но пусть теперь что частоты немного отличаются друг от друга:

ω1 6= ω2, |ω1 − ω2| ω1, ω2

В этом случае можно считать, что остаются справедливыми формулы сложения колебаний

a2 = a21 + a22 + 2a1a2 cos(α2 − α2)

tg α = a1 sin α1 + a2 sin α2 a1 cos α1 + a2 cos α2

Гармонические

колебания

Энергия

гармонических

колебаний

Векторная

диаграмма

Сложение

гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

Биения

Определение

Вывод формулы для биений

Период биений

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Фигуры Лиссажу

Определение

Снова рассмотрим случай, когда колебания происходят в одном направлении. Но пусть теперь что частоты немного отличаются друг от друга:

ω1 6= ω2, |ω1 − ω2| ω1, ω2

В этом случае можно считать, что остаются справедливыми формулы сложения колебаний

a2 = a21 + a22 + 2a1a2 cos(α2 − α2)

tg α = a1 sin α1 + a2 sin α2 a1 cos α1 + a2 cos α2

Гармонические

колебания

Энергия

гармонических

колебаний

Векторная

диаграмма

Сложение

гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

Биения

Определение

Вывод формулы для биений

Период биений

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Фигуры Лиссажу

Однако так как теперь вектора ~a1 и ~a2 вращаются с немного разными угловыми скоростями, то результирующий вектор ~a ведёт себя по-другому:

•вращается с угловой скоростью, близкой к ω1 и ω2;

•при этом его длина медленно (по сравнению с вращением) колеблется от aмин до aмакс и обратно.

Встрогом смысле такие колебания уже не являются гармоническими.

Но если отличие частот невелико, то можно сказать, что происходят гармонические колебания с медленно меняющейся амплитудой. Такие колебания называются биениями.

Гармонические

колебания

Энергия

гармонических

колебаний

Векторная

диаграмма

Сложение

гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

Биения

Определение

Вывод формулы для биений

Период биений

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Фигуры Лиссажу

Однако так как теперь вектора ~a1 и ~a2 вращаются с немного разными угловыми скоростями, то результирующий вектор ~a ведёт себя по-другому:

•вращается с угловой скоростью, близкой к ω1 и ω2;

•при этом его длина медленно (по сравнению с вращением) колеблется от aмин до aмакс и обратно.

Встрогом смысле такие колебания уже не являются гармоническими.

Но если отличие частот невелико, то можно сказать, что происходят гармонические колебания с медленно меняющейся амплитудой. Такие колебания называются биениями.

Гармонические

колебания

Энергия

гармонических

колебаний

Векторная

диаграмма

Сложение

гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

Биения

Определение

Вывод формулы для биений

Период биений

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Фигуры Лиссажу

Однако так как теперь вектора ~a1 и ~a2 вращаются с немного разными угловыми скоростями, то результирующий вектор ~a ведёт себя по-другому:

•вращается с угловой скоростью, близкой к ω1 и ω2;

•при этом его длина медленно (по сравнению с вращением) колеблется от aмин до aмакс и обратно.

Встрогом смысле такие колебания уже не являются гармоническими.

Но если отличие частот невелико, то можно сказать, что происходят гармонические колебания с медленно меняющейся амплитудой. Такие колебания называются биениями.

Гармонические

колебания

Энергия

гармонических

колебаний

Векторная

диаграмма

Сложение

гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

Биения

Определение

Вывод формулы для биений

Период биений

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Фигуры Лиссажу

Однако так как теперь вектора ~a1 и ~a2 вращаются с немного разными угловыми скоростями, то результирующий вектор ~a ведёт себя по-другому:

•вращается с угловой скоростью, близкой к ω1 и ω2;

•при этом его длина медленно (по сравнению с вращением) колеблется от aмин до aмакс и обратно.

Встрогом смысле такие колебания уже не являются гармоническими.

Но если отличие частот невелико, то можно сказать, что происходят гармонические колебания с медленно меняющейся амплитудой. Такие колебания называются биениями.

Гармонические

колебания

Энергия

гармонических

колебаний

Векторная

диаграмма

Сложение

гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

Биения

Определение

Вывод формулы для биений

Период биений

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Фигуры Лиссажу

Вывод формулы для биений

Для простоты рассмотрим случай, когда a1 = a2 = a и α1 = α2 = 0.

x = a cos(ω1t) + a cos(ω2t)

Гармонические

колебания

Энергия

гармонических

колебаний

Векторная

диаграмма

Сложение

гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

Биения

Определение

Вывод формулы для биений

Период биений

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Фигуры Лиссажу

Вывод формулы для биений

Для простоты рассмотрим случай, когда a1 = a2 = a и α1 = α2 = 0.

x = a cos(ω1t) + a cos(ω2t)

Гармонические

колебания

Энергия

гармонических

колебаний

Векторная

диаграмма

Сложение

гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

Биения

Определение

Вывод формулы для биений

Период биений

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Фигуры Лиссажу