mmt-11

Векторная диаграмма для суммы колебаний

Вычислим сумму двух колебаний вида:

x = x1 + x2 = a1 cos(ωt + α1) + a2 cos(ωt + α2)

На векторной диаграмме эта сумма может быть представлена как

~a = ~a1 + ~a2

Так как частоты колебаний одинаковые, то вектора вращаются с одинаковой угловой скоростью и их взаимная ориентация остаётся постоянной.

Следовательно и результирующий вектор ~a также вращается с угловой скоростью ω.

Значит, сумма колебаний описывается формулой

x = a cos(ωt + α)

Нужно определить a и α.

Гармонические

колебания

Энергия

гармонических

колебаний

Векторная

диаграмма

Сложение

гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

Векторная диаграмма для суммы колебаний

Формула для амплитуды

Формула для фазы

Минимальная и максимальная амплитуда колебаний

Биения

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Фигуры Лиссажу

Векторная диаграмма для суммы колебаний

Вычислим сумму двух колебаний вида:

x = x1 + x2 = a1 cos(ωt + α1) + a2 cos(ωt + α2)

На векторной диаграмме эта сумма может быть представлена как

~a = ~a1 + ~a2

Так как частоты колебаний одинаковые, то вектора вращаются с одинаковой угловой скоростью и их взаимная ориентация остаётся постоянной.

Следовательно и результирующий вектор ~a также вращается с угловой скоростью ω.

Значит, сумма колебаний описывается формулой

x = a cos(ωt + α)

Нужно определить a и α.

Гармонические

колебания

Энергия

гармонических

колебаний

Векторная

диаграмма

Сложение

гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

Векторная диаграмма для суммы колебаний

Формула для амплитуды

Формула для фазы

Минимальная и максимальная амплитуда колебаний

Биения

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Фигуры Лиссажу

Векторная диаграмма для суммы колебаний

Вычислим сумму двух колебаний вида:

x = x1 + x2 = a1 cos(ωt + α1) + a2 cos(ωt + α2)

На векторной диаграмме эта сумма может быть представлена как

~a = ~a1 + ~a2

Так как частоты колебаний одинаковые, то вектора вращаются с одинаковой угловой скоростью и их взаимная ориентация остаётся постоянной.

Следовательно и результирующий вектор ~a также вращается с угловой скоростью ω.

Значит, сумма колебаний описывается формулой

x = a cos(ωt + α)

Нужно определить a и α.

Гармонические

колебания

Энергия

гармонических

колебаний

Векторная

диаграмма

Сложение

гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

Векторная диаграмма для суммы колебаний

Формула для амплитуды

Формула для фазы

Минимальная и максимальная амплитуда колебаний

Биения

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Фигуры Лиссажу

Формула для амплитуды

Для вычисления a используем теорему косинусов:

~a2 ~a

δ = α2 − α1

α2 α1 ~a1

a2 = a21 + a22 − 2a1a2 cos(π − δ) = = a21 + a22 + 2a1a2 cos(δ)

a2 = a21 + a22 + 2a1a2 cos(α2 − α2)

Гармонические

колебания

Энергия

гармонических

колебаний

Векторная

диаграмма

Сложение

гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

Векторная диаграмма для суммы колебаний

Формула для амплитуды

Формула для фазы

Минимальная и максимальная амплитуда колебаний

Биения

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Фигуры Лиссажу

Формула для амплитуды

Для вычисления a используем теорему косинусов:

~a2 ~a

δ = α2 − α1

α2 α1 ~a1

a2 = a21 + a22 − 2a1a2 cos(π − δ) = = a21 + a22 + 2a1a2 cos(δ)

a2 = a21 + a22 + 2a1a2 cos(α2 − α2)

Гармонические

колебания

Энергия

гармонических

колебаний

Векторная

диаграмма

Сложение

гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

Векторная диаграмма для суммы колебаний

Формула для амплитуды

Формула для фазы

Минимальная и максимальная амплитуда колебаний

Биения

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Фигуры Лиссажу

Формула для амплитуды

Для вычисления a используем теорему косинусов:

~a2 ~a

δ = α2 − α1

α2 α1 ~a1

a2 = a21 + a22 − 2a1a2 cos(π − δ) = = a21 + a22 + 2a1a2 cos(δ)

a2 = a21 + a22 + 2a1a2 cos(α2 − α2)

Гармонические

колебания

Энергия

гармонических

колебаний

Векторная

диаграмма

Сложение

гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

Векторная диаграмма для суммы колебаний

Формула для амплитуды

Формула для фазы

Минимальная и максимальная амплитуда колебаний

Биения

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Фигуры Лиссажу

Формула для амплитуды

Для вычисления a используем теорему косинусов:

~a2 ~a

δ = α2 − α1

α2 α1 ~a1

a2 = a21 + a22 − 2a1a2 cos(π − δ) = = a21 + a22 + 2a1a2 cos(δ)

a2 = a21 + a22 + 2a1a2 cos(α2 − α2)

Гармонические

колебания

Энергия

гармонических

колебаний

Векторная

диаграмма

Сложение

гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

Векторная диаграмма для суммы колебаний

Формула для амплитуды

Формула для фазы

Минимальная и максимальная амплитуда колебаний

Биения

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Фигуры Лиссажу

Формула для фазы

~a

~a2

α2

~a1

α

α1

x1 x2

Угол α угол наклона вектора ~a к горизонтальной оси. Из рисунка видно, что

tg α = a1 sin α1 + a2 sin α2 a1 cos α1 + a2 cos α2

Гармонические

колебания

Энергия

гармонических

колебаний

Векторная

диаграмма

Сложение

гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

Векторная диаграмма для суммы колебаний

Формула для амплитуды

Формула для фазы

Минимальная и максимальная амплитуда колебаний

Биения

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Фигуры Лиссажу

Минимальная и максимальная амплитуда колебаний

Из формулы для амплитуды

a2 = a21 + a22 + 2a1a2 cos(α2 − α2)

следует, что когда α1 = α2 колебания происходят синфазно (в фазе).

Амплитуда результирующего колебания в этом случае максимальна,

a = aмакс = a1 + a2

Если α2 = α1 + π, то колебания происходят в противофазе. Амплитуда результирующих колебаний в этом случае минимальна

a = aмин = |a1 − a2|

Гармонические

колебания

Энергия

гармонических

колебаний

Векторная

диаграмма

Сложение

гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

Векторная диаграмма для суммы колебаний

Формула для амплитуды

Формула для фазы

Минимальная и максимальная амплитуда колебаний

Биения

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Фигуры Лиссажу

Минимальная и максимальная амплитуда колебаний

Из формулы для амплитуды

a2 = a21 + a22 + 2a1a2 cos(α2 − α2)

следует, что когда α1 = α2 колебания происходят синфазно (в фазе).

Амплитуда результирующего колебания в этом случае максимальна,

a = aмакс = a1 + a2

Если α2 = α1 + π, то колебания происходят в противофазе. Амплитуда результирующих колебаний в этом случае минимальна

a = aмин = |a1 − a2|

Гармонические

колебания

Энергия

гармонических

колебаний

Векторная

диаграмма

Сложение

гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты

Векторная диаграмма для суммы колебаний

Формула для амплитуды

Формула для фазы

Минимальная и максимальная амплитуда колебаний

Биения

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Фигуры Лиссажу