1.2. Элементы кристаллографии

1.2.1. Кристаллическая решетка

В кристалле частицы (ионы, атомы, молекулы), из которых он постро­ен, сближены до соприкосновения и закономерным образом располагаются относительно друг друга (рис. 1.2, а). Для упрощения пространственное изображение частиц заменяют схемой (рис. 1.2, б), на которой вместо шаров отмечены точки - центры тяжести частиц.

Рис. 1.2. Расположение частиц в кристалле:

а - пространственное изображение; б - схематическое изображение

Через эти точки (центры тяжести) проводят три оси х, у, z, не лежащие в одной плоскости, расстояния между точками, расположенными по этим осям, обозначают соответственно а, b и с (в общем случае они неодинаковы) – их называют периоды решётки. Углы между осями обозначают  (между y и z),  (между x и z) и  (между x и y), в общем случае они также неодинаковы. Плоскости, проведённые через центры тяжести, вместе с координатными плоскостями (x и y, y и z, x и z) образуют параллелепипед, его называют элементарной ячейкой.

Весь кристалл можно представить состоящим из множества таких вот элементарных ячеек, равных и параллельно ориентированных. Говорят, что пространственную кристаллическую решетку можно получить путём последовательного перемещения одной элементарной ячейки во всех направлениях.

Как уже отмечалось, для описания элементарной ячейки кристаллической решетки ис­пользуют шесть величин: три отрезка, равные расстояниям а, b, с до ближайших частиц по осям координат, и три угла ,  и  между этими отрезками. В зависимости от соотношения между этими величинами все кристаллы подразделяют на семь систем, отличающихся симметрией. Эти системы классифицированы в табл. 1.1.

Таблица 1.1.

Кристаллические системы

Система	Периоды	Углы
Триклинная	a  b  c	    
Моноклинная	a  b  c	 =  = 900   900
Ромбическая	a  b  c	 =  =  = 900
Ромбоэдрическая	a = b = c	 =  =   900
Гексагональная	a = b  c	 =  = 900  = 1200
Тетрагональная	a = b  c	 =  =  = 900
Кубическая	a = b = c	 =  =  = 900

В большинстве случаев решетки имеют сложное строение, так как частицы находятся не только в узлах, но и на гранях или в центре решет­ки (рис. 1.3). О степени сложности судят по числу частиц, приходящихся на одну элементарную ячейку. В простой пространственной решетке (см. рис. 1.3-а) всегда на одну ячейку приходится одна частица. Действительно, в каждой ячейке имеется восемь вершин, частица в каждой вершине одновременно принадлежит восьми ячейкам. Т.е. на долю каждой ячейки приходится 1/8 часть частицы, а всего частиц в ячейке восемь. Сле­довательно, на ячейку приходится одна частица.

В сложной пространственной решетке на одну ячейку прихо­дится больше одной частицы. Так, на т.н. объемно-центрированную ячейку (см. рис. 1.3-б) приходятся две частицы: одна от вершин (как в простой), а другая расположена в центре - она относится только к рассматриваемой ячейке. В гранецентрированной ячейке (см. рис. 1.3-в) имеются четыре частицы: одна от вершин и три от шести граней: частица, находящаяся в центре каждой грани одновременно относится к двум ячейкам.

Система, периоды и число частиц, приходящихся на элементарную ячейку, полностью определяют расположение частиц в кристалле. Допол­нительными характеристиками кристаллической решетки являются коор­динационное число и коэффициент компактности. Координацион­ное число К – это число ближайших равноудаленных частиц в кристаллической решётке. Например, в объемно-центрированной кубической решетке (ОЦК) для каждой частицы число таких соседей равно восьми, т.е. К = 8. Для простой кубической решетки координационное число 6 (К = 6), для гранецентрированной кубической решетки (ГЦК) — 12 (К = 12).

Рис. 1.3.Типы элементарных ячеек кристаллических решеток: а - простая; б, в - сложные

Рис. 1.4. Октаэдрические (а) и тетраэдрические (б) поры в ме­таллах с ГЦК решеткой

Коэффициент компактности - отношение объёма частиц, расположенных в элементарной ячейке, ко всему объёму ячейки. Для кубической решетки его значение равно 0,52, для ОЦК  0,68 и для ГЦК  0,74.

Оставшееся пространство образуют поры. В случае ГЦК различают октаэдрические и тетраэдрические поры, на рис. 1.4 центры этих пор показаны маленькими точками. Радиус октаэдрической поры составляет 0,41, а тетраэдрической поры — 0,22 радиуса частицы.

Для многих металлов характерна плотная упаковка частиц. Если частицы изобразить в виде шаров – во многих случаях это справедливо, так как они обладают шаровой симметрией, то при упаковке получаются структуры, показанные на рис. 1.5.

Рис. 1.6. Различные виды плотной упаковки шаров и элементарные ячейки кристаллических ре­шеток: а, г - ГП; б, д - ГЦК; в, е - ОЦК

На первый слой шаров, обозначенных А, в лунки накладывается второй слой шаров, обозначенных В. Для следующего слоя шаров воз­можны два варианта: если шары укладываются над первым слоем, то получающуюся ре­шетку называют гексагональной плотноупакованной (ГП); если третий слой шаров С укладывается на второй в его лунки и только четвертый слой повторяет первый слой шаров, то получается ГЦК ре­шетка.

Шестигранная призма на рис. 1.6 изображает ГП кристаллическую решетку. Однако элементарной ячейкой здесь является элемент, выделен­ный жирными линиями: а = б  с;  =  = 90°;  = 120°. Исходя из чисто геометрических соображений, можно определить отношение пе­риодов с/а, если частицы обладают сферической симметрией. Оно равно 1,633.

При отклонении частиц от сферической симметрии возможно обра­зование гексагональных структур с отношением периодов, отличающихся от 1,633, а также ОЦК структур (см. рис. 1.6).