3.2.6 Колебательное затухающее звено, апериодическое звено 2-го порядка

Это такое звено, у которого при скачкообразном изменении х, выходная величинана – у изменится в колебательном режиме с постоянным периодом и с амплитудой затухающего колебания по экспоненте. Динамическая характеристика имеет вид:

Т0²*d²y/dt²+T*dy/dt+y=к*х. Это уравнение 2-го порядка, звено имеет 2 емкости – Т0 и Т. Для решения уравнения необходимо получить передаточную функцию и характерное уравнение для данного звена. Передаточная функция:

Т0²*р0²*у(р)+Т*р*у(р)+у(р)=к*х(р)

W(р)=у(р)/х(р)=к/(Т0²*р²+Т*р+1). Характерное уравнение (когда знаменатель=0): Т0²*р²+Т*р+1=0.

Найдем корни: Р1,2=-Т/(2*Т0²)±(Т²-4Т0²/4*Т0⁴). Данные корни могут быть комплексно-сопряженные или действительно отрицательные. Если Т<2Т0, то корень дифференциала уравнения будет отрицательным и корни комплексно-сопряженные, т е: Р1,2=-α±j*ω. Коэффициент затухания α=Т/2Т0², ω=4Т0²/Т0/4Т0⁴) – частота вынужденных колебаний выходной величины у. Решение будет иметь вид: у=у установится – с*е^-αt*sin(ω*t+ψ), где с, ω – постоянные интегрирования, которые определяются из начальных условий, т е: (dy/dt)_t=0. Параметры: у установится = к*х, с=к*х*(ω0/ω), ω0=1/Т0 – частота свободных колебаний выходной переменной, ψ=arctg(ω/α). Подставив все получим:

y=кх*[1 - ω0/ω*е^-αt*sin(ω*t+arctg ω/α)]. График переходного процессса (х=const):

Пример: двухъемкостные статические объекты, электродвигатели переменного тока (асинхронные).

Апериодическое звено 2-го порядка: Динамическая характеристика данного звена имеет вид:

Т0²*d²y/dt²+T*dy/dt+y=к*х. Характеристическое уравнение данного звена: Т0²*р²+Т*р+1=0. Соотношение постоянных времени имеет следующий вид: Т1>2Т0. Корни характеристического уравнения будут вещественными и отрицательными: Р1,2=-α±γ, α=-Т1/2Т0, γ=((Т1²-4Т0²)/4Т0⁴). И решение исходного дифференциального уравнения имеет вид: у=к*х – с1*е^-(α+γ) – с2*е^{-( α-γ)}, где с1,с2 – постоянная интегрирования. График переходного процесса им s-вид:

3.2.7 Звено чистого запаздывания

Динамическая его характеристика имеет вид: у=х*(t – τ), где τ – время чистого запаздывания. График переходного процесса:

Характеристика – величина у на выходе звена = вх величине х, но через время τ. Передаточная функция имеет вид: W(р)=у(р)/х(р)=е^-р*τ

3.3 Передаточные функции аср

Отношение преобразованной по Лапласу выходной величины АСР (или элемента) к преобразованной по Лапласу входной величины АСР называется передаточной функцией АСР (элемента).

У(Р)/ Х(Р) =(b_0*P^m+ b_1*P^m-1+…+ b_m-1*P+b_m)/(a₀*Pⁿ+ a₁*P^n-1+…+ a_n-1*P+a_n) =W(P)

Знаменатель передаточной функции приравнивают к 0, и такая функция называется характеристическое уравнение АСР(или элемента).

Любая АСР состоит из отдельных звеньев, элементов, соединенных по следующим схемам:

1.последовательное соединение элементов

2. параллельное соединение

3. смешанное соединение элементов

4. соединение элементов по схеме обратной связи

Для определения передаточной функции данной АСР необходимо определить передаточные функции вышеуказанных элементов в схеме.

3.3.1 Последовательное соединение звеньев

W₁(P)

W₂(P)

W_n(P)

Х₃(Р) Х_n(P) Х_n+1(Р), У(Р)

Х₁(Р) ……

Х(Р)

Рис.1

W₁(P)… W_n(P)-передаточная функция отдельных звеньев.

На входе и выходе – входные и выходные сигналы. Входные сигналы первого звена равны сигналу всей системы.

Х₁(Р) = Х(Р)

Вся система обозначена как W(Р). Выходной сигнал всей системы У(Р):

Х_n+1(Р)=У(Р)

W(Р)= У(Р)/ Х(Р)

Определяющим выражением передаточной функции для каждого звена является отношение выходного сигнала к входному.

W₁(P) =X₂(P)/X₁(Р); W₂(P)=X₃(P)/X₂(Р)

W_n(P)=X_n+1(P)/X_n(Р)

Перемножим соотношения:

W₁(P)* W₂(P)* W_n(P)= X_n+1(P)/X₁(Р)= У(Р)/ Х(Р) =W(P)

Передаточная функция АСР, состоящая из n последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций звеньев.