3 Основы теории автоматического регулирования

3.1 Способы математического описания аср

Динамические характеристики элементов АСР описываются 2-мя способами: 1) Дифференциальные уравнения 2) Передаточные функции

3.1.1Дифференциальные уравнения (обыкновенные)

у - выходная переменная АСР, х - входная, dt - динамика АСР. Для решения уравнения применяют операционное исчисление основанные на преобразовании Лапласа.

3.1.2 Передаточные функции

Преобразование Лапласа имеет следующий вид

гдн - аргумент,- изображение данного аргумента ,- некоторая переменная которая называется переменная Лапласа

Свойства преобразования при начальных нулевых значениях т.е. t=0 x(t)=0

1),, 2), 3),, 4), где L-преобразование

Преобразование по Лапласу с использованием его свойств

возьмем отношение

Отношение преобразуем по Лапласу выходной величины АСР или линейно к преобразованной по Лапласу входной величины элемента называется передаточной функцией АСР или элемента. Знаменатель передаточной функции = 0, называется характеристическим уравнением АСР

3.2 Управления типовых звеньев аср

3.2.1 Назначение и классификация типовых звеньев

Любая АСР состоит из элементов или звеньев объединенных в схему при этом динамическая АСР зависит из динамических характеристик звеньев и способов соединения их в звенья их в звенья образующих АСР. Поэтому для получения динамических характеристик всей АСР нужно знать характеристики всех ее элементов. Объектов регулирования, датчиков, регуляторов и др.

Все элементы АСР по своим динамическим характеристикам, т.е по зависимости выходной величины можно классифицировать на следующие типовые звенья:

-безинерционные (усилительные);

-инерционные (аппериодическое звено 1-го порядка);

-интегрирующая(астатическое звено 1-го порядка);

-дифференцирующие звенья;

-колебательно затухающее звено;

-аппериодическое звено 2-го порядка;

-звено чистого запаздывания.

3.2.2 Безинерционное звено (усилителительное)

Динамическая характеристика имеет вид:

y=kx (3.2.1)

Преобразуем уравнения по Лапласу

y(p)=kx(p)

W(p)= (3.2.2)

Пример данного звена- n-регулятор, все усилители,рычаги.

3.2.3 Инерционное звено

Динамическая характеристика такого звена имеет вид:

T (3.2.3)

T - постоянное времени, к - коэффициент усиления.

x-const;

y= (3.2.4)

По формуле(3.2.4) построим графики переходного процесса:

; ;

Для этого (3.2.3)преобразуем по Лапласу:

(3.2.5)

Одноемкостные статические объекты: термопары, мембрано-исполнительный механизм. Данное звено называется аппериодическим звеном 1-го порядка.

3.2.4 Интегрирующее звено

Динамическая характеристика: Т*dy/dt=к*х

Преобразуем: dy/dt=к*х/Т, ,Проинтегрируем:y-y0=к/Т*, х=cоnst, y=кх/Т*t+y0

График переходного процесса:

y/t=кх/Т=tgα, α=аrctgк*х/Т. Получим функцию звена, преобразуем по Лапласу:

Т*р*y(р)=к*х(р), W(р)=y(р)/х(р)=к/Т*р. Данное звено называется астатическим звеном 1-го порядка (емкостные астатические объекты, интегральные регуляторы).

3.2.5 Дифференцирующие звенья

Они делятся на реальные и идеальные. Динамическая характеристика идеального дифференцирующего звена имеет вид:

y=к*dх/dt (При t=0, y; при t, у=0)

Получим передаточную функцию звена: у(р)=к*р*х(р), W(р)=у(р)/х(р)=к*р

Пример:

1. Электрический контур, в котором протекает ток и имеется напряжение, тогда ток в контуре будет равен: i=c*dUвых/dt

2. Трансформеры напряжения: Uвых=к*dФ/dt, Ф=к1*i1 (величина потока создается в сердечнике i1). Uвых=к2*di1/dt (выходное напряжение).

Динамическая характеристика реального дифференцирующего звена им вид: Т*dy/dt+y=k*dx/dt (при t=0, y, при t, y=k*x*e^-t/T

Получим передаточную функцию: Т*р*у(р)+у(р)=к*р*х(р), W(р)=к*р/(Т*р+1).

Пример: электрический контур, содержащий емкость С и сопротивление R. Получим: R*c*Uвых/dt+Uвых= dUвых/dt – закон Киркгофа. Дифференцирующие звенья широко применяются в АСР и способствует устойчивой ее работе.